Domaine de définition

Le domaine de définition d’une fonction, c’est l’ensemble des nombres pour lesquels on peut calculer son image : un polynôme se calcule partout, une fraction rationnelle partout sauf là où son dénominateur s’annule.

Objectifs

Comprendre ce qu’est le domaine de définition d’une fonction.
Savoir qu’un polynôme est défini sur \( \mathbb{R} \).
Trouver les valeurs interdites d’une fraction rationnelle en résolvant « dénominateur \( = 0 \) ».
Écrire le domaine avec la notation \( \mathbb{R} \setminus \{\dots\} \) ou avec des intervalles.

1. Qu’est-ce qu’un domaine de définition ?

Soit \( f \) une fonction. Le domaine de définition de \( f \), noté \( D_f \), est l’ensemble des réels \( x \) pour lesquels \( f(x) \) existe, c’est-à-dire peut être calculé.

Le cas des polynômes

Un polynôme est une expression comme \( P(x) = 3x^{2} - 5x + 2 \) : on ne fait que des additions, des soustractions et des multiplications. Ces opérations sont toujours possibles, donc :

\[ \text{Tout polynôme est défini sur } \mathbb{R}. \]

Quel est le domaine de définition de \( P(x) = x^{3} - 7x + 10 \) ?

\( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
\( \mathbb{R} \setminus \{10\} \)
\( \mathbb{R} \)

C’est un polynôme : on peut toujours calculer \( x^{3} - 7x + 10 \), quel que soit \( x \).

2. Fractions rationnelles et valeurs interdites

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes :

\[ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \]

Elle est définie pour tous les réels \( x \) tels que \( Q(x) \neq 0 \). Les solutions de \( Q(x) = 0 \) sont les valeurs interdites.

\[ D_f = \{ x \in \mathbb{R} \ / \ Q(x) \neq 0 \} \]

La méthode en 3 étapes

flowchart LR
A[Repérer le dénominateur] --> B[Résoudre dénominateur égal à 0]
B --> C[Retirer ces valeurs de R]

Voir une valeur interdite sur la courbe

Fais varier \( a \) : la courbe de \( f(x) = \frac{1}{x-a} \) se coupe en deux et « s’envole » près de \( x = a \). En \( x = a \), le dénominateur vaut 0 : la fonction n’existe pas à cet endroit.

Exemple résolu 1

Détermine le domaine de définition de \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \). Cherche d’abord !

Le dénominateur est \( x - 3 \).

On résout \( x - 3 = 0 \), donc \( x = 3 \) : c’est la valeur interdite.

Conclusion : \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\} = \left]-\infty \, ; 3\right[ \cup \left]3 \, ; +\infty\right[ \]

Quelle est la valeur interdite de \( g(x) = \frac{x+4}{3x+6} \) ?

\( -4 \)
\( -2 \)
\( 2 \)
\( 6 \)

\( 3x + 6 = 0 \) donne \( x = -2 \). Le \( -4 \) annule le numérateur, ce qui n’est pas interdit.

3. Dénominateurs du second degré : factoriser

Quand le dénominateur est de degré 2, on le factorise (identités remarquables, facteur commun) puis on utilise la règle du produit nul : un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.

Exemple résolu 2 : deux valeurs interdites

Détermine le domaine de \( h(x) = \frac{x+5}{x^{2}-9} \).

On factorise avec \( a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b) \) : \[ x^{2} - 9 = (x-3)(x+3) \]

Produit nul : \( x - 3 = 0 \) ou \( x + 3 = 0 \), donc \( x = 3 \) ou \( x = -3 \).

Conclusion : \[ D_h = \mathbb{R} \setminus \{-3 \, ; 3\} \]

Exemple résolu 3 : facteur commun

Détermine le domaine de \( k(x) = \frac{x+1}{2x^{2}-8x} \). Cherche d’abord !

Voir la solution

\[ 2x^{2} - 8x = 2x(x-4) \]

Produit nul : \( 2x = 0 \) ou \( x - 4 = 0 \), donc \( x = 0 \) ou \( x = 4 \).

\[ D_k = \mathbb{R} \setminus \{0 \, ; 4\} \]

Exemple résolu 4 : aucune valeur interdite

Détermine le domaine de \( m(x) = \frac{3}{x^{2}+4} \).

Voir la solution

Un carré est toujours positif ou nul : \( x^{2} \ge 0 \), donc \( x^{2} + 4 \ge 4 > 0 \). Le dénominateur ne s’annule jamais.

\[ D_m = \mathbb{R} \]

Quel est le domaine de \( f(x) = \frac{4x}{x^{2}-6x+9} \) ?

\( \mathbb{R} \setminus \{3\} \)
\( \mathbb{R} \setminus \{-3 \, ; 3\} \)
\( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
\( \mathbb{R} \)

\( x^{2} - 6x + 9 = (x-3)^{2} \), qui s’annule seulement pour \( x = 3 \).

Quel est le domaine de \( g(x) = \frac{5}{x^{2}+1} \) ?

\( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \)
\( \mathbb{R} \setminus \{-1 \, ; 1\} \)
\( \mathbb{R} \)

\( x^{2} + 1 \ge 1 > 0 \) : le dénominateur ne s’annule jamais.

4. Sommes de fractions rationnelles

Quand une fonction contient plusieurs fractions, elle est définie seulement si tous les dénominateurs sont non nuls.

Exemple résolu 5

Détermine le domaine de \( f(x) = \frac{1}{x-1} + \frac{2}{x+2} \).

Premier dénominateur : \( x - 1 = 0 \) donne \( x = 1 \).

Second dénominateur : \( x + 2 = 0 \) donne \( x = -2 \).

On retire les deux valeurs : \[ D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2 \, ; 1\} = \left]-\infty \, ; -2\right[ \cup \left]-2 \, ; 1\right[ \cup \left]1 \, ; +\infty\right[ \]

Exercice : domaine de \( r(x) = \frac{x-1}{x^{2}-x-6} \). Voir la solution

On cherche à factoriser \( x^{2} - x - 6 \). On vérifie que \( (x-3)(x+2) = x^{2} + 2x - 3x - 6 = x^{2} - x - 6 \).

Produit nul : \( x = 3 \) ou \( x = -2 \).

\[ D_r = \mathbb{R} \setminus \{-2 \, ; 3\} \]

Quel est le domaine de \( h(x) = \frac{x}{x+5} - \frac{3}{x} \) ?

\( \mathbb{R} \setminus \{-5\} \)
\( \mathbb{R} \setminus \{-5 \, ; 0\} \)
\( \mathbb{R} \setminus \{0 \, ; 3\} \)

\( x + 5 = 0 \) donne \( -5 \) et le second dénominateur \( x \) s’annule en \( 0 \) : on retire les deux.

Erreurs fréquentes

Chercher les zéros du numérateur au lieu de ceux du dénominateur.
Simplifier la fraction avant de chercher le domaine, et oublier une valeur interdite.
Oublier une des deux solutions de \( x^{2} - 9 = 0 \) : il y a \( 3 \) ET \( -3 \).
Écrire \( \mathbb{R} \setminus 3 \) au lieu de \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) : les accolades sont obligatoires.

Récapitulatif

\( D_f \) = ensemble des \( x \) pour lesquels \( f(x) \) existe.
Un polynôme est défini sur \( \mathbb{R} \).
\( \frac{P(x)}{Q(x)} \) est définie pour \( Q(x) \neq 0 \) : on résout \( Q(x) = 0 \) et on retire ces valeurs.
Degré 2 : factoriser puis appliquer le produit nul.
Plusieurs fractions : on retire les valeurs interdites de tous les dénominateurs.

Domaine de définition

Ensemble des réels x pour lesquels f(x) peut être calculé.

Polynôme

Toujours défini sur ℝ : aucune valeur interdite.

Valeur interdite

Valeur de x qui annule un dénominateur.

Produit nul

A × B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0.

Simplification

Chercher le domaine AVANT de simplifier la fraction.