Domaine de définition — Généralités sur les fonctions (2nde)

Domaine de définition

Niveau : 2nde — Thème : Généralités sur les fonctions

Introduction

Le domaine de définition d'une fonction f, noté D_f, est l'ensemble des réels x pour lesquels l'expression de f(x) a un sens (et est un nombre réel). Trouver le domaine consiste à identifier les valeurs interdites (division par zéro, racine carrée d'un nombre négatif, etc.) puis à résoudre les conditions associées.

Règles et restrictions courantes

Polynôme P(x) : domaine = R (tous les réels).
Fraction rationnelle A(x)/B(x) : retirer les racines réelles de B(x) = 0.
Racine paire (ex. √, racine carrée) : l'expression sous le signe doit être ≥ 0.
Racine impaire : pas de restriction (dans R), ex. cube root.
Logarithme (si étudié) : argument strictement > 0.
Fonction composée f∘g : x doit appartenir au domaine de g et g(x) doit appartenir au domaine de f.

Méthode pour déterminer un domaine

Repérer les opérations interdites (division, racine paire, logarithme...).
Écrire les conditions (équations ou inéquations) correspondantes.
Résoudre ces équations/inéquations sur R.
Intersequer toutes les conditions pour obtenir D_f et l'exprimer sous forme d'intervalle ou d'union d'intervalles.

Exemples guidés

Exemple 1

f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1).

Restriction : dénominateur ≠ 0 ⇒ x ≠ 1.

Même si l'expression peut se simplifier algébriquement (f(x) = x+1 pour x ≠ 1), le domaine est R \ {1}.

Exemple 2

g(x) = √(2x - 4).

Condition : 2x - 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2. Domaine : [2, +∞).

Exemple 3

h(x) = √(x^2 - 4) / (x - 2).

Conditions : x^2 - 4 ≥ 0 ⇒ |x| ≥ 2 (x ≤ -2 ou x ≥ 2) et x ≠ 2 (dénominateur).

Domaine : (-∞, -2] ∪ (2, +∞).

Exemple 4 (composition)

k(x) = √(1 - x^2).

Condition : 1 - x^2 ≥ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 1. Domaine : [-1, 1].

Exercices courts

Ex. 1 : Déterminer le domaine de f(x) = (x + 3)/(x^2 - 9).

Ex. 2 : Déterminer le domaine de f(x) = √(3 - x) + √(x + 1).

Ex. 3 : Déterminer le domaine de f(x) = √(x - 1) / √(x^2 - 5x + 6).

Corrigés (brefs)

Ex. 1 : D = R \ {3, -3} car x^2 - 9 = (x-3)(x+3) ≠ 0.
Ex. 2 : Conditions 3 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3 et x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1 ⇒ D = [-1, 3].
Ex. 3 : Nécessite x - 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 et x^2 - 5x + 6 > 0 sous la racine dénominateur (on demande que l'expression existe et le dénominateur ≠ 0). Factorisation : (x-2)(x-3). On veut x^2 - 5x + 6 > 0 ⇒ x < 2 ou x > 3. Intersecter avec x ≥ 1 donne [1,2) ∪ (3, +∞).

Points clés

Le domaine regroupe toutes les valeurs de x pour lesquelles l'expression est définie dans R.
Toujours lister les restrictions puis les résoudre étape par étape.
La simplification algébrique d'une expression ne change pas le domaine : il faut conserver les valeurs interdites initiales.