Droit remarquable dans un triangle : La médiatrice d’un côté

Objectif

Comprendre la notion de médiatrice d’un côté dans un triangle et son rôle dans la construction du cercle circonscrit.

Définition

Dans un triangle, la médiatrice d’un côté est la droite perpendiculaire à ce côté et qui le coupe en son milieu. Elle est notée souvent M.

Construction de la médiatrice

1. Tracer un côté du triangle, par exemple \( \overline{AB} \).
2. Tracer la perpendiculaire à \( \overline{AB} \) en son point moyen \( M \), ce qui se fait à l’aide d’un compas puis d’une équerre.

La médiatrice peut aussi être appelée la droite remarquable liée au côté.

Propriété importante

Dans un triangle, tous les points situés sur la médiatrice d’un côté sont équidistants des extrémités de ce côté. Autrement dit, si \( P \) est un point sur la médiatrice de \( \overline{AB} \), alors :

\[ ext{Distance}(P, A) = ext{Distance}(P, B) \]

Application : Cercle circonscrit

Les trois médiatrices d’un triangle se coupent en un seul point appelé le centre du cercle circonscrit. Ce point est équidistant de tous les sommets du triangle.

Ce centre permet de tracer le cercle qui passe par les trois sommets du triangle, appelé cercle circonscrit.

Résumé

• La médiatrice d’un côté est la perpendiculaire à ce côté passant par son milieu.
• Elle permet de construire le centre du cercle circonscrit.
• Dans un triangle, les médiatrices de trois côtés se croisent en un point unique.

Conclusion

La médiatrice d’un côté est une droite très utile en géométrie, notamment pour la construction du cercle circonscrit et pour comprendre les propriétés du triangle.