Le même paramètre intervient dans les trois coordonnées.
Pour \(A(1,2,0)\) et \(\vec u=(2,-1,1)\), écris la droite et trouve le point correspondant à \(t=2\).
Voir la solution après avoir cherché
\(x=1+2t\), \(y=2-t\), \(z=t\).
Pour \(t=2\), on obtient \((5,0,2)\).
Le vecteur de \(A\) vers ce point vaut \((4,-2,2)=2\vec u\), ce qui contrôle l’appartenance.
Peut-on choisir un paramètre indépendant dans chaque coordonnée d’une droite ?
Oui
Non
Un seul paramètre commun décrit le déplacement dans une direction.
Décrire un plan
Un plan est défini par un point \(A\) et deux vecteurs directeurs non colinéaires \(\vec u\), \(\vec v\). Les points vérifient \(\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v\), avec deux paramètres réels indépendants. Un vecteur normal non nul est perpendiculaire aux deux directions du plan. Dans une équation cartésienne \(ax+by+cz+d=0\), le vecteur \((a,b,c)\) est normal et ne doit pas être nul.
Écris le plan passant par \(A(1,0,2)\), de normale \(\vec n=(1,2,-1)\).
Voir la solution après avoir cherché
La condition est \(\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\).
Elle donne \((x-1)+2y-(z-2)=0\).
Après regroupement : \(x+2y-z+1=0\). Le point \(A\) vérifie bien \(1-2+1=0\).
Dans ce plan, quel vecteur est une normale ?
\((1,2,-1)\)
\((1,0,2)\)
\((0,0,0)\)
Les coefficients des coordonnées donnent une normale non nulle.
Passer d’une représentation à l’autre
Pour le même plan, utilise \(\vec u=(2,-1,0)\) et \(\vec v=(1,0,1)\). Retrouve l’équation cartésienne.
Voir la solution après avoir cherché
Les deux directions sont non colinéaires et orthogonales à \(\vec n\) : \(2-2=0\) et \(1-1=0\).
On écrit \(x=1+2s+t\), \(y=-s\), \(z=2+t\).
On élimine \(s=-y\) et \(t=z-2\), puis \(x=1-2y+z-2\). On retrouve \(x+2y-z+1=0\).
Pour la droite du début, élimine le paramètre à partir de \(z=t\).
Voir la solution après avoir cherché
On obtient les deux équations \(x-2z=1\) et \(y+z=2\).
Leur intersection est la droite. Une seule équation linéaire non dégénérée dans l’espace définirait un plan, pas cette droite.
Pourquoi exige-t-on des directions non colinéaires pour décrire un plan ?
Sinon elles décrivent seulement une direction
Pour rendre les calculs plus longs
Parce que toutes les coordonnées doivent être positives
Deux directions indépendantes permettent de parcourir le plan ; deux directions colinéaires ne suffisent pas.
Erreurs fréquentes
Récapitulatif
Choisir des directions ou une normale permet de décrire un objet, de calculer ses points et de contrôler leur appartenance.
Cartes mémo : cherche avant de retourner
Droite
Un point et un vecteur directeur non nul ; un paramètre.
Plan
Un point et deux directions non colinéaires ; deux paramètres.
Normale
Vecteur non nul perpendiculaire aux directions du plan.
Équation cartésienne
Plan : \(ax+by+cz+d=0\), avec \((a,b,c)\ne(0,0,0)\).
Appartenance
Substituer les coordonnées ou retrouver les paramètres communs.
Teste tes connaissances sur ce cours
Crée ton compte gratuitement pour accéder aux quiz associés et suivre ta progression.
