Écart-type comme mesure de dispersion

L’espérance dit où se trouve le « centre » d’une variable aléatoire ; l’écart-type dit à quelle distance de ce centre ses valeurs ont l’habitude de s’éloigner, et il permet de contrôler les écarts grâce aux inégalités de Bienaymé-Tchebychev et de concentration.

Objectifs

Calculer la variance et l’écart-type d’une variable aléatoire finie, avec la définition ou la formule de König-Huygens.
Interpréter l’écart-type comme une mesure de dispersion autour de l’espérance.
Utiliser \(V(aX+b)=a^2V(X)\) et la variance d’une somme de variables indépendantes.
Appliquer l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev et l’inégalité de concentration ; comprendre la loi faible des grands nombres.

1. Même moyenne, dispersion différente

On note \(X\) le retard (en minutes) sur la ligne A et \(Y\) sur la ligne B :

\(x_i\)	4	5	6
\(P(X=x_i)\)	0,25	0,5	0,25

\(y_i\)	0	5	10
\(P(Y=y_i)\)	0,25	0,5	0,25

On a \(E(X)=E(Y)=5\) : l’espérance ne voit pas la différence. Le schéma, lui, la montre.

2. Variance et écart-type

Soit \(X\) une variable aléatoire prenant les valeurs \(x_1,\dots,x_n\) avec les probabilités \(p_1,\dots,p_n\), et d’espérance \(\mu = E(X)\).

Variance : moyenne des carrés des écarts à l’espérance.

\[V(X) = E\big((X-\mu)^2\big) = \sum_{i=1}^{n} p_i\,(x_i-\mu)^2\]

Écart-type : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\). Il s’exprime dans la même unité que \(X\) (minutes, F CFA…), ce qui le rend facile à interpréter.

Formule de König-Huygens (souvent plus rapide) :

\[V(X) = E(X^2) - \big(E(X)\big)^2\]

Exemple résolu 1 : les deux lignes de bus

Calcule \(V(X)\), \(\sigma(X)\), \(V(Y)\) et \(\sigma(Y)\).

Ligne A : \(V(X) = 0{,}25(4-5)^2 + 0{,}5(5-5)^2 + 0{,}25(6-5)^2 = 0{,}25+0+0{,}25 = 0{,}5\).

\(\sigma(X) = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71\) minute.

Ligne B : \(V(Y) = 0{,}25(0-5)^2 + 0{,}5(5-5)^2 + 0{,}25(10-5)^2 = 6{,}25+0+6{,}25 = 12{,}5\).

\(\sigma(Y) = \sqrt{12{,}5} \approx 3{,}54\) minutes : la ligne B est cinq fois plus « dispersée » ; c’est elle qui fait rater des cours.

Exemple résolu 2 : avec König-Huygens

Le nombre \(Z\) de clients servis par minute à une boutique de Ouagadougou suit la loi : \(P(Z=0)=0{,}1\), \(P(Z=1)=0{,}3\), \(P(Z=2)=0{,}4\), \(P(Z=3)=0{,}2\). Cherche \(E(Z)\), \(V(Z)\) et \(\sigma(Z)\).

Voir la solution

\[ \begin{align} E(Z) &= 0\times0{,}1 + 1\times0{,}3 + 2\times0{,}4 + 3\times0{,}2 = 1{,}7\\ E(Z^2) &= 0\times0{,}1 + 1\times0{,}3 + 4\times0{,}4 + 9\times0{,}2 = 3{,}7\\ V(Z) &= 3{,}7 - 1{,}7^2 = 3{,}7 - 2{,}89 = 0{,}81\\ \sigma(Z) &= \sqrt{0{,}81} = 0{,}9 \end{align} \]

Une variable aléatoire a une variance nulle. Que peut-on dire ?

Son espérance est nulle.
Elle prend une seule valeur (avec probabilité 1) : aucune dispersion.
C’est impossible.

\(V(X)=\sum p_i(x_i-\mu)^2 = 0\) impose \(x_i=\mu\) pour toute valeur de probabilité non nulle : la variable est constante.

3. Propriétés de calcul

Pour des réels \(a\) et \(b\) :

\[V(aX+b) = a^2\,V(X) \qquad \sigma(aX+b) = |a|\,\sigma(X)\]

Ajouter une constante \(b\) décale toutes les valeurs sans les étaler : la dispersion ne change pas. Multiplier par \(a\) étire les écarts d’un facteur \(|a|\).

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes : \(V(X+Y) = V(X)+V(Y)\). Plus généralement, pour \(X_1,\dots,X_n\) indépendantes de même loi, de variance \(V\) : \(V(X_1+\dots+X_n) = nV\).

Exemple résolu 3

Avec \(Z\) de l’exemple 2 (\(\sigma(Z)=0{,}9\)), le gain par minute est \(G = 500Z + 1\,000\) (en F CFA). Calcule \(E(G)\) et \(\sigma(G)\).

Voir la solution

\(E(G) = 500\times1{,}7 + 1\,000 = 1\,850\) F CFA ; \(\sigma(G) = |500|\times0{,}9 = 450\) F CFA (et \(V(G) = 500^2\times0{,}81 = 202\,500\)). Le bonus de 1 000 F n’a aucun effet sur l’écart-type.

Si \(\sigma(X)=3\), que vaut \(\sigma(-2X+7)\) ?

6
−6
1

\(\sigma(aX+b)=|a|\,\sigma(X) = |-2|\times3 = 6\). Un écart-type n’est jamais négatif et la constante 7 ne compte pas.

4. Contrôler les écarts : Bienaymé-Tchebychev

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour tout réel \(\delta > 0\),

\[P\big(|X-\mu| \geq \delta\big) \leq \frac{V(X)}{\delta^2}\]

Plus la variance est petite, plus il est rare de s’éloigner de l’espérance. Avec \(\delta = k\sigma\) : \(P(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \dfrac{1}{k^2}\) ; par exemple, s’écarter de 2 écarts-types ou plus arrive avec une probabilité d’au plus \(\frac14\).

Exemple résolu 4

Pour Fatou (\(\mu = 200\), \(\sigma = 20\)), majore la probabilité que les ventes s’écartent de 50 sachets ou plus de la moyenne.

\(V(X) = \sigma^2 = 400\) et \(\delta = 50\).

\(P(|X-200|\geq 50) \leq \dfrac{400}{50^2} = \dfrac{400}{2\,500} = 0{,}16\).

Donc \(P(150 < X < 250) \geq 1-0{,}16 = 0{,}84\) : au moins 84 % des jours, Fatou vend entre 151 et 249 sachets.

5. Moyenne d’un échantillon et loi des grands nombres

Soit \(X_1,\dots,X_n\) des variables indépendantes de même loi, d’espérance \(\mu\) et de variance \(V\). La moyenne de l’échantillon \(M_n = \dfrac{X_1+\dots+X_n}{n}\) vérifie :

\[E(M_n) = \mu \qquad V(M_n) = \frac{V}{n} \qquad \sigma(M_n) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\]

Inégalité de concentration : pour tout \(\delta>0\),

\[P\big(|M_n-\mu|\geq\delta\big) \leq \frac{V}{n\,\delta^2}\]

Loi faible des grands nombres : pour tout \(\delta>0\), \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} P\big(|M_n-\mu|\geq\delta\big) = 0\). La moyenne observée finit par « coller » à l’espérance.

Fais varier la variance \(v\) et la précision \(d\) : la courbe donne la majoration \(\frac{v}{n\,d^2}\) en fonction de la taille \(n\) de l’échantillon (axe horizontal).

Exemple résolu 5

On lance une pièce équilibrée \(n\) fois ; \(X_i\) vaut 1 pour « pile », 0 sinon (loi de Bernoulli de paramètre \(0{,}5\), donc \(V = 0{,}5\times0{,}5 = 0{,}25\)). Combien de lancers suffisent pour que la probabilité d’un écart d’au moins 0,05 entre la fréquence de « pile » et 0,5 soit au plus 0,05 ?

Voir la solution

\[ \begin{align} \frac{V}{n\,\delta^2} &= \frac{0{,}25}{n\times0{,}05^2} = \frac{0{,}25}{0{,}0025\,n} = \frac{100}{n}\\ \frac{100}{n} \leq 0{,}05 &\iff n \geq \frac{100}{0{,}05} = 2\,000 \end{align} \]

Avec au moins 2 000 lancers, l’inégalité de concentration garantit le résultat. (C’est une majoration prudente : en pratique, moins de lancers suffisent souvent.)

On multiplie la taille d’un échantillon par 4. Que devient l’écart-type de la moyenne \(M_n\) ?

Il est multiplié par 4.
Il est divisé par 4.
Il est divisé par 2.

\(\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt n}\) : remplacer \(n\) par \(4n\) divise par \(\sqrt4 = 2\).

flowchart LR
  A[Loi de X] --> B[Esperance mu]
  A --> C[Variance V]
  C --> D[Ecart type sigma]
  D --> E[Bienayme Tchebychev]
  C --> F[Moyenne Mn de variance V sur n]
  F --> G[Inegalite de concentration]
  G --> H[Loi des grands nombres]

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

\(V(X)=\sum p_i(x_i-\mu)^2 = E(X^2)-E(X)^2\) ; \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\), dans l’unité de \(X\).
\(V(aX+b)=a^2V(X)\) ; variances additives pour des variables indépendantes.
Bienaymé-Tchebychev : \(P(|X-\mu|\geq\delta)\leq \frac{V(X)}{\delta^2}\).
Moyenne d’échantillon : \(V(M_n)=\frac{V}{n}\) ; concentration : \(P(|M_n-\mu|\geq\delta)\leq\frac{V}{n\delta^2}\) ; loi des grands nombres.

Écart-type

Racine carrée de la variance ; distance typique des valeurs à l’espérance.

König-Huygens

V(X) = E(X²) − E(X)².

Transformation affine

σ(aX + b) = |a| σ(X) ; la constante b ne change rien.

Bienaymé-Tchebychev

P(|X − μ| ≥ δ) ≤ V(X) / δ².

Loi des grands nombres

La moyenne d’un grand échantillon se rapproche de l’espérance.