Écart-type — Concentration et loi des grands nombres

Écart-type comme mesure de dispersion

Niveau Terminale — Thème : concentration, loi des grands nombres. Objectif : comprendre, calculer et interpréter l'écart-type et son rôle dans les inégalités de concentration.

1. Définitions essentielles

Soit une population de données réelles x₁, x₂, …, x_n (ou une variable aléatoire X). On définit :

La moyenne (empirique) : μ = (1/n) Σ_{i=1}^n x_i.
La variance (population) : σ² = (1/n) Σ_{i=1}^n (x_i - μ)².
L'écart-type (population) : σ = √(σ²).

Pour un échantillon on utilise souvent la variance corrigée : s² = (1/(n-1)) Σ (x_i - x̄)² et l'écart-type d'échantillon s = √(s²).

2. Interprétation

L'écart-type mesure la dispersion moyenne autour de la moyenne : plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées. Il a la même unité que les observations.

Exemple qualitatif : si μ = 50 et σ = 2, la majorité des valeurs sont proches de 50 ; si σ = 20, les valeurs varient beaucoup.

3. Calculs rapides

Moyenne : μ = (1/n) Σ x_i

Variance : σ² = (1/n) Σ (x_i - μ)²

Écart-type : σ = √{(1/n) Σ (x_i - μ)²}

Remarque : pour des calculs à la main, on peut utiliser la formule équivalente :

σ² = (1/n) [Σ x_i²] - μ²

4. Exemple numérique

Données : 8, 10, 12, 10, 10 (n = 5)

μ = (8+10+12+10+10)/5 = 50/5 = 10
Σ (x_i - μ)² = (8-10)²+(10-10)²+(12-10)²+(10-10)²+(10-10)² = 4+0+4+0+0 = 8
σ² = 8/5 = 1.6 ⇒ σ = √1.6 ≈ 1.2649

Interprétation : la dispersion autour de 10 est faible (écart-type ≈ 1,26).

5. Lien avec la loi des grands nombres et la concentration

La loi faible des grands nombres (LGN) : pour des variables i.i.d. X₁, …, X_n d'espérance μ et de variance finie σ², la moyenne empirique X̄_n tend vers μ quand n → ∞ en probabilité.

Rôle de l'écart-type : l'écart-type (ou la variance) contrôle la vitesse de concentration autour de la moyenne. Plus σ² est petit, plus la moyenne empirique est concentrée.

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev (utile au lycée) :

Pour toute variable X d'espérance μ et variance σ² et pour tout ε > 0, P(|X-μ| ≥ ε) ≤ σ²/ε².

Application à la moyenne empirique X̄_n (variance σ²/n) :

P(|X̄_n - μ| ≥ ε) ≤ (σ²/n) / ε² = σ²/(n ε²).

Conclusion : la probabilité que la moyenne empirique s'écarte de μ de plus de ε décroît en 1/n (concentration). L'écart-type diminue comme σ/√n (écart-type de la moyenne).

6. Utilisations pratiques

Comparer la dispersion de deux séries : séries avec mêmes moyennes mais plus petit σ sont « plus concentrées ».
Dans les estimations, l'écart-type de l'estimateur indique l'incertitude ; réduire σ (ou augmenter n) réduit l'incertitude.
Contrôler la précision : intervalle approximatif ±kσ décrit la proportion attendue (pour distributions proches de normale, règle empirique 68–95–99.7).

7. Exercices rapides

Exercice 1 — Calculer l'écart-type des données : 2, 5, 7 (donner σ² et σ).

Solution : μ = (2+5+7)/3 = 14/3 ≈ 4.6667. Σ (x_i-μ)² ≈ (2-4.6667)²+(5-4.6667)²+(7-4.6667)² ≈ 7.1111+0.1111+5.4444 = 12.6666. σ² = 12.6666/3 = 4.2222. σ ≈ 2.055.

Exercice 2 — On a n observations i.i.d. d'espérance μ et variance σ². Montrer (par l'inégalité de Chebyshev) que pour ε = 0.1 et σ=2, prendre n ≥ ? garantit P(|X̄_n-μ| ≥ 0.1) ≤ 0.05.

Utiliser σ²/(n ε²) ≤ 0.05 ⇒ n ≥ σ²/(0.05 ε²) = 4/(0.05·0.01) = 4/(0.0005) = 8000. Donc n ≥ 8000.

8. Remarques finales

L'écart-type est sensible aux valeurs extrêmes ; la variance accentue encore cet effet car elle utilise les carrés.
Pour des distributions non symétriques, compléter l'analyse avec la médiane et l'intervalle interquartile peut être pertinent.
La loi des grands nombres garantit la convergence de la moyenne, mais la vitesse dépend de la variance (et donc de l'écart-type).