Écoulement d’un fluide incompressible

Introduction

Un fluide est considéré incompressible lorsque sa densité \( ho\) reste constante lors de son mouvement. Cela simplifie l’étude de l’écoulement, notamment en hydrodynamique.

Principes de base

Conservation de la masse

Dans un écoulement stationnaire, la masse qui entre dans une zone doit en sortir. Pour un fluide incompressible, cela se traduit par la conservation du débit.

Débit volumique

Le débit volumique \(Q\) représente le volume de fluide passant par une section par unité de temps :

\[Q = S imes v \quad ext{où} \quad S ext{ est la section et } v ext{ la vitesse}.\]

Conservation du débit : principe fondamental

Pour un écoulement incompressible, le débit est constant le long d'une conduite :

\[Q_1 = Q_2 \quad \Rightarrow \quad S_1 v_1 = S_2 v_2\]

Équation de Bernoulli

Elle relie l’énergie mécanique le long d'une ligne d’écoulement :

\[ rac{1}{2} ho v^2 + ho g h + P = ext{constante} \]

où :

• \( ho\) : densité du fluide,
• \(v\) : vitesse du fluide,
• \(g\) : accélération de la pesanteur,
• \(h\) : hauteur,
• \(P\) : pression.

Application concrète : Venturi

Le tube de Venturi permet de mesurer la vitesse d’un fluide :

• Au passage dans la zone rétrécie, la vitesse augmente (\(v_2 > v_1\)).
• Selon la conservation du débit :
• \[S_1 v_1 = S_2 v_2\]
• Et selon Bernoulli, la pression diminue dans la partie rétrécie :
• \[ P_1 + rac{1}{2} ho v_1^2 = P_2 + rac{1}{2} ho v_2^2 \]

Conclusion

La connaissance de ces principes permet d'analyser et de prévoir le comportement d’un fluide lors de son écoulement dans des conduites ou des systèmes variés.