Mesures et incertitudes : écriture du résultat avec chiffres significatifs

Un résultat de mesure s'écrit avec juste les chiffres que l'on connaît vraiment (les chiffres significatifs), avec son unité, et si possible avec son incertitude : ni plus, ni moins.

Objectifs

Compter les chiffres significatifs d'une valeur.
Utiliser l'écriture scientifique \(a \times 10^{n}\) pour lever les ambiguïtés.
Arrondir le résultat d'un calcul au bon nombre de chiffres significatifs.
Écrire un résultat de mesure sous la forme \(x = (x_{\text{mes}} \pm u(x))\) unité.
Comparer un résultat à une valeur de référence avec l'écart relatif.

1. Les chiffres significatifs

Notions clés

Les chiffres significatifs (CS) d'une valeur sont tous les chiffres écrits, en partant du premier chiffre non nul à gauche.
Les zéros à gauche ne sont pas significatifs : \(0{,}0045\ \mathrm{m}\) a 2 CS (4 et 5). Ils servent seulement à placer la virgule.
Les zéros à droite (et entre deux chiffres) sont significatifs : \(12{,}0\ \mathrm{cm}\) a 3 CS, \(1{,}05\ \mathrm{g}\) a 3 CS.
Le dernier chiffre écrit est le moins sûr : c'est lui qui indique la précision.

Étape 1 : on aligne le bord gauche de la gomme sur le zéro et on lit le bord droit : il tombe sur la graduation 4,7 cm.

Étape 2 : la plus petite graduation vaut 1 mm, soit 0,1 cm : on ne peut pas lire plus finement que le dixième de centimètre.

Étape 3 : on écrit L = 4,7 cm. Écrire 4,712 cm inventerait des chiffres que la règle ne donne pas.

Exemple résolu : compter les chiffres significatifs

Combien de chiffres significatifs ont : \(0{,}00450\ \mathrm{L}\) ; \(305\ \mathrm{g}\) ; \(1{,}20 \times 10^{3}\ \mathrm{m}\) ?

Voir la solution

\(0{,}00450\ \mathrm{L}\) : les trois zéros de gauche ne comptent pas ; restent 4, 5 et le 0 final : 3 CS.
\(305\ \mathrm{g}\) : le zéro est entre deux chiffres, il compte : 3 CS.
\(1{,}20 \times 10^{3}\ \mathrm{m}\) : on ne compte que les chiffres devant la puissance de 10 : 1, 2 et 0 : 3 CS.

Combien de chiffres significatifs a la valeur \(0{,}0302\ \mathrm{kg}\) ?

Les deux zéros de gauche ne comptent pas ; on compte 3, 0 et 2 : le zéro entre 3 et 2 est significatif. Il y a donc 3 CS.

2. L'écriture scientifique

Notions clés

L'écriture scientifique est \(a \times 10^{n}\) avec \(1 \leq a < 10\) et \(n\) entier.
Tous les chiffres de \(a\) sont significatifs : \(1{,}2 \times 10^{3}\ \mathrm{km}\) a 2 CS ; \(1{,}200 \times 10^{3}\ \mathrm{km}\) en a 4.
Pour changer d'unité sans changer le nombre de CS, on utilise les puissances de 10 : \(4{,}7\ \mathrm{cm} = 4{,}7 \times 10^{-2}\ \mathrm{m}\) (toujours 2 CS), et non \(0{,}047000\ \mathrm{m}\).

Comment écrire \(2\,500\ \mathrm{g}\) avec 2 chiffres significatifs ?

\(2{,}5 \times 10^{3}\ \mathrm{g}\)
\(25 \times 10^{2}\ \mathrm{g}\)
\(2{,}500 \times 10^{3}\ \mathrm{g}\)

En écriture scientifique, \(a\) doit être compris entre 1 et 10 et ne contenir que les chiffres significatifs : \(2{,}5 \times 10^{3}\ \mathrm{g}\).

3. Le résultat d'un calcul

Notions clés

Pour un produit ou un quotient, on garde dans le résultat autant de chiffres significatifs que la donnée qui en a le moins.
On fait le calcul avec toutes les décimales, et on n'arrondit qu'à la fin.
Pour arrondir : si le chiffre qui suit le dernier chiffre gardé est 5 ou plus, on augmente ce dernier chiffre de 1 ; sinon on le laisse.

Exemple résolu : la vitesse de Moussa

Étape 1 : on convertit : \(d = 2{,}4\ \mathrm{km} = 2{,}4 \times 10^{3}\ \mathrm{m}\) (2 CS) ; \(t = 18{,}5\ \mathrm{min} = 18{,}5 \times 60 = 1{,}11 \times 10^{3}\ \mathrm{s}\) (3 CS).

Étape 2 : on calcule sans arrondir : \[ v = \frac{d}{t} = \frac{2{,}4 \times 10^{3}}{1{,}11 \times 10^{3}} = 2{,}162\ldots\ \mathrm{m/s} \]

Étape 3 : la donnée la moins précise (\(d\)) a 2 CS : le résultat aura 2 CS.

Étape 4 : on arrondit : le chiffre suivant le 1 est 6 (5 ou plus), donc \(v \approx 2{,}2\ \mathrm{m/s}\).

Exemple résolu : la masse volumique d'un caillou

Un caillou a une masse \(m = 25{,}3\ \mathrm{g}\) et un volume \(V = 10{,}0\ \mathrm{mL}\). Calcule sa masse volumique \(\rho = \dfrac{m}{V}\) avec le bon nombre de CS.

Voir la solution

Les deux données ont 3 CS, donc le résultat aussi :

\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{25{,}3\ \mathrm{g}}{10{,}0\ \mathrm{mL}} = 2{,}53\ \mathrm{g/mL} \]

On calcule \(\dfrac{7{,}25}{3{,}1}\) ; la calculatrice affiche 2,338709… Quel résultat écrire ?

2,338709
2,34
2,3

3,1 n'a que 2 CS : on garde 2 CS. Le chiffre suivant le 3 est 3 (moins de 5), donc on écrit 2,3.

4. Écrire un résultat avec son incertitude

Notions clés

L'incertitude-type \(u(x)\) indique la dispersion possible des valeurs mesurées. Elle a la même unité que \(x\).
On arrondit \(u(x)\) à un ou deux chiffres significatifs.
On arrondit ensuite la valeur mesurée pour que son dernier chiffre soit au même rang (même décimale) que le dernier chiffre de l'incertitude.
On écrit : \(x = (x_{\text{mes}} \pm u(x))\ \text{unité}\), ou bien \(x_{\text{mes}}\) et \(u(x)\) séparément.

flowchart LR
  A[Mesurer et calculer] --> B[Arrondir u a 1 ou 2 CS]
  B --> C[Arrondir la valeur au meme rang]
  C --> D[Ecrire valeur plus ou moins u et unite]

Exemple résolu : la longueur du banc

Le calcul donne \(L = 152{,}433\ \mathrm{cm}\) et \(u(L) = 0{,}12\ \mathrm{cm}\). Écris le résultat, avec une incertitude à un chiffre significatif.

Étape 1 : on arrondit l'incertitude à 1 CS : \(u(L) = 0{,}12\ \mathrm{cm} \approx 0{,}1\ \mathrm{cm}\). Son dernier chiffre est au rang des dixièmes.

Étape 2 : on arrondit la valeur au dixième : \(152{,}433 \approx 152{,}4\ \mathrm{cm}\).

Étape 3 : on écrit : \[ L = (152{,}4 \pm 0{,}1)\ \mathrm{cm} \]

Comparer à une valeur de référence

Pour savoir si un résultat est en accord avec une valeur de référence \(x_{\text{réf}}\), on peut calculer l'écart relatif :

\[ \text{écart relatif} = \frac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{réf}}|}{x_{\text{réf}}} \]

Souvent exprimé en pourcentage : plus il est petit, plus la mesure est proche de la référence.

Exemple résolu : mesurer g

En TP à Niamey, un groupe trouve \(g = 9{,}6\ \mathrm{N/kg}\). L'énoncé donne la valeur de référence \(g_{\text{réf}} = 9{,}8\ \mathrm{N/kg}\). Calcule l'écart relatif.

Voir la solution

\[ \frac{|9{,}6 - 9{,}8|}{9{,}8} = \frac{0{,}2}{9{,}8} \approx 0{,}020 = 2{,}0\ \% \]

La mesure s'écarte d'environ 2 % de la référence.

On trouve \(m = 48{,}276\ \mathrm{g}\) avec \(u(m) = 0{,}03\ \mathrm{g}\). Quelle écriture est correcte ?

\(m = (48{,}276 \pm 0{,}03)\ \mathrm{g}\)
\(m = (48{,}28 \pm 0{,}03)\ \mathrm{g}\)
\(m = (48{,}3 \pm 0{,}03)\ \mathrm{g}\)

L'incertitude s'arrête aux centièmes : on arrondit la valeur aux centièmes. 48,276 devient 48,28 (le chiffre suivant est 6).

Erreurs fréquentes

Compter les zéros de gauche comme significatifs (\(0{,}005\) n'a qu'un CS).
Recopier tous les chiffres de la calculatrice.
Arrondir les résultats intermédiaires au lieu d'arrondir seulement à la fin.
Supprimer un zéro final significatif (\(12{,}0\ \mathrm{cm}\) écrit \(12\ \mathrm{cm}\)).
Écrire une valeur avec plus de décimales que son incertitude, ou oublier l'unité.

Récapitulatif

Les CS sont tous les chiffres à partir du premier non nul ; zéros de gauche non significatifs, zéros de droite significatifs.
L'écriture scientifique \(a \times 10^{n}\) montre clairement le nombre de CS.
Produit ou quotient : autant de CS que la donnée la moins précise ; arrondir à la fin.
Résultat de mesure : \(x = (x_{\text{mes}} \pm u(x))\) unité, \(u\) à 1 ou 2 CS, valeur arrondie au même rang.
Écart relatif \(\dfrac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{réf}}|}{x_{\text{réf}}}\) pour comparer à une référence.

Chiffres significatifs

Tous les chiffres écrits à partir du premier chiffre non nul à gauche.

Zéros de gauche

Jamais significatifs : 0,0045 a 2 CS.

Écriture scientifique

\(a \times 10^{n}\) avec \(1 \leq a < 10\) ; tous les chiffres de \(a\) sont significatifs.

Règle du calcul

Produit ou quotient : autant de CS que la donnée la moins précise.

Écriture avec incertitude

\(x = (x_{\text{mes}} \pm u(x))\) unité ; \(u\) à 1 ou 2 CS, valeur arrondie au même rang.

Écart relatif

\(\dfrac{|x_{\text{mes}} - x_{\text{réf}}|}{x_{\text{réf}}}\), souvent en pourcentage.