Effets sur périmètres, aires et volumes
Effets sur périmètres, aires et volumes
Les symétries, translations et rotations ne changent ni les longueurs, ni les aires, ni les volumes ; un agrandissement ou une réduction de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(k\), les aires par \(k^2\) et les volumes par \(k^3\).
Objectifs
- Savoir quelles grandeurs sont conservées par une symétrie, une translation, une rotation.
- Connaître l’effet d’une homothétie, d’un agrandissement ou d’une réduction de rapport \(k\) sur les longueurs, les angles, les aires et les volumes.
- Calculer une longueur, une aire ou un volume après agrandissement ou réduction, et retrouver le rapport \(k\).
- Utiliser la section d’une pyramide ou d’un cône par un plan parallèle à la base.
1. Les transformations qui conservent tout
La symétrie axiale, la symétrie centrale, la translation et la rotation transforment une figure en une figure superposable. Elles conservent :
- les longueurs, donc les périmètres ;
- les mesures des angles ;
- les aires (et les volumes dans l’espace) ;
- l’alignement et le parallélisme.
Un triangle d’aire \(12 \text{ cm}^2\) subit une rotation de \(90^\circ\). Quelle est l’aire de son image ?
2. Agrandissement, réduction et homothétie
Une figure est un agrandissement ou une réduction d’une autre de rapport \(k\) (\(k > 0\)) si toutes ses longueurs sont celles de la figure de départ multipliées par \(k\).
- Si \(k > 1\) : agrandissement. Si \(0 < k < 1\) : réduction. Si \(k = 1\) : figures superposables.
- Les angles sont conservés, ainsi que l’alignement et le parallélisme : la forme reste la même.
- Une homothétie de rapport \(k\) (\(k \neq 0\)) produit un agrandissement ou une réduction de rapport \(|k|\) : si \(k\) est négatif, la figure est en plus « retournée » de l’autre côté du centre.
Le rapport se calcule en divisant une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de la figure de départ :
\[k = \dfrac{\text{longueur dans la nouvelle figure}}{\text{longueur correspondante dans la figure de départ}}\]3. Effet sur les longueurs, les aires et les volumes
Observe ce qui se passe quand on double le côté d’un carré.
On multiplie le côté par \(k = 2\) : le côté passe de 1 à 2, le périmètre passe de 4 à 8, il est multiplié par 2.
Le grand carré se découpe en 4 petits carrés identiques au carré de départ : son aire est multipliée par 4.
Bilan : les longueurs sont multipliées par \(k = 2\), l’aire par \(k^2 = 4\).
Manipule : le graphique montre, pour un carré de côté \(c\), le périmètre \(4ck\) et l’aire \(c^2k^2\) de l’agrandissement en fonction du rapport \(k\) (sur l’axe horizontal). Le périmètre grandit en ligne droite, l’aire beaucoup plus vite.
Exemple résolu 1 : le plan d’un terrain
Un terrain rectangulaire à Bamako mesure 20 m sur 15 m. On le dessine sur un plan à l’échelle \(\dfrac{1}{500}\). Calcule les dimensions, le périmètre et l’aire sur le plan.
Exemple résolu 2 : le cube agrandi
Un cube a une arête de 2 cm. On l’agrandit avec le rapport \(k = 3\). Calcule l’aire totale et le volume du nouveau cube de deux façons. Cherche d’abord.
Voir la solution
Cube de départ : aire totale \(6 \times 2^2 = 24 \text{ cm}^2\), volume \(2^3 = 8 \text{ cm}^3\).
Avec les règles : aire \(24 \times 3^2 = 24 \times 9 = 216 \text{ cm}^2\) ; volume \(8 \times 3^3 = 8 \times 27 = 216 \text{ cm}^3\).
Directement : la nouvelle arête mesure \(2 \times 3 = 6\) cm, donc aire \(6 \times 6^2 = 216 \text{ cm}^2\) et volume \(6^3 = 216 \text{ cm}^3\). Les deux méthodes concordent.
Exemple résolu 3 : retrouver le rapport
Une affiche a une aire 25 fois plus grande que celle d’un prospectus de même forme. Par combien ses longueurs ont-elles été multipliées ?
Voir la solution
L’aire est multipliée par \(k^2 = 25\), donc \(k = \sqrt{25} = 5\) (car \(k > 0\)). Les longueurs ont été multipliées par 5. De même, si un volume est multiplié par 8, alors \(k^3 = 8\) et \(k = 2\).
On réduit une boîte avec le rapport \(k = \dfrac{1}{2}\). Son volume est multiplié par…
Un disque de rayon 3 cm est agrandi : son nouveau rayon est 6 cm. Que devient son aire ?
4. Section d’une pyramide ou d’un cône
Quand on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à la base, la section est une réduction de la base, et la petite pyramide (ou le petit cône) obtenue au sommet est une réduction de la grande, de rapport
\[k = \dfrac{\text{hauteur de la petite pyramide}}{\text{hauteur de la grande pyramide}}.\]Exemple résolu 4 : la petite pyramide
Une pyramide de hauteur 9 cm a une base d’aire \(90 \text{ cm}^2\). On la coupe parallèlement à la base, à 3 cm du sommet. Calcule l’aire de la section et le volume de la petite pyramide.
Un cône de hauteur 12 cm est coupé parallèlement à sa base à 6 cm du sommet. Le petit cône a un volume égal à…
Erreurs fréquentes
- Multiplier l’aire ou le volume par \(k\) au lieu de \(k^2\) ou \(k^3\).
- Calculer le rapport à l’envers : \(k\) = nouvelle longueur divisée par longueur de départ.
- Oublier de convertir dans la même unité avant de calculer un rapport ou d’utiliser une échelle.
- Pour une section de pyramide, prendre le rapport avec la hauteur de la partie du bas (le tronc) au lieu de la hauteur de la petite pyramide.
- Penser que les angles sont multipliés par \(k\) : ils sont conservés.
Récapitulatif
- Symétries, translations, rotations : longueurs, angles, aires et volumes conservés.
- Agrandissement ou réduction de rapport \(k\) (dont l’homothétie de rapport \(k\), avec \(|k|\)) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^2\), volumes \(\times k^3\), angles conservés.
- Retrouver \(k\) : quotient de deux longueurs correspondantes, ou racine carrée du rapport des aires, ou racine cubique du rapport des volumes.
- Section d’une pyramide ou d’un cône parallèle à la base : la petite pyramide est une réduction de rapport \(k\) égal au quotient des hauteurs.
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