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Élimination de Gauss

1èreMathematiquesSystème d'équation et d'inequation a trois inconnusÉlimination de Gauss~3 min de lecture

Gauss organise les transformations en pivots puis une remontée donne les solutions.

Élimination de Gauss

Objectifs

  • Construire une matrice augmentée.
  • Échelonner avec des opérations explicites.
  • Remonter et détecter les cas particuliers.

Écrire la matrice augmentée

On fixe l’ordre \(x,y,z\). Chaque ligne de la matrice augmentée représente une équation. Les trois premières colonnes contiennent les coefficients et la dernière le second membre. Une inconnue absente a un coefficient nul. La barre est une séparation, pas une opération.

Écris la matrice du système \(x+y+z=6\), \(2x-y+z=3\), \(x+2y-z=2\).

Voir la solution après avoir cherché
On aligne les coefficients dans le même ordre.
\[\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&-1&1&3\\1&2&-1&2\end{array}\right].\]
Le coefficient de la dernière inconnue dans la dernière ligne vaut \(-1\).

Quel coefficient de \(y\) inscrit-on pour \(2x+z=5\) ?

  1. \(0\)
  2. \(1\)
  3. \(5\)
On conserve la colonne et on inscrit zéro.

Choisir un pivot et échelonner

Un pivot est un coefficient non nul utilisé pour éliminer dans sa colonne. On peut échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ou ajouter un multiple d’une ligne à une autre. Normaliser le pivot à un est possible, pas obligatoire. Si le pivot prévu est nul, on cherche une ligne convenable à échanger.

Échelonne en évitant des fractions inutiles.

Voir la solution après avoir cherché
Premier pivot : \(1\). On fait \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) et \(L_3\leftarrow L_3-L_1\) : \[\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&-3&-1&-9\\0&1&-2&-4\end{array}\right].\]
On échange les deux dernières lignes : \[\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&-3&-1&-9\end{array}\right].\]
On applique \(L_3\leftarrow L_3+3L_2\) : \[\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-2&-4\\0&0&-7&-21\end{array}\right].\] Les premiers coefficients non nuls se décalent vers la droite.

Peut-on diviser par un pivot nul ?

  1. Oui
  2. Non
La division par zéro est interdite ; on cherche un échange ou on passe à une autre colonne.

Remonter et interpréter

La remontée résout la dernière équation utile, puis substitue la valeur dans les précédentes. Une ligne de coefficients nuls et de second membre non nul révèle une contradiction. Une ligne entièrement nulle est redondante. Sans contradiction, une colonne d’inconnue sans pivot correspond à une variable libre.

Résous la forme échelonnée et vérifie.

Voir la solution après avoir cherché
La dernière ligne donne \(-7z=-21\), donc \(z=3\). Diviser cette ligne par \(-7\) normalise le dernier pivot.
La deuxième donne \(y-2z=-4\), donc \(y=2\).
La première donne \(x+y+z=6\), donc \(x=1\).
Le triplet \((1,2,3)\) vérifie les seconds membres initiaux : \(6\), \(3\), \(2\).
flowchart LR
A[Aligner] --> B[Pivot non nul]
B --> C[Eliminer sous le pivot]
C --> D[Recommencer]
D --> E[Remonter et verifier]

Que signifie \(0x+0y+0z=4\) ?

  1. Variable libre
  2. Contradiction
  3. Solution nulle
Aucun triplet ne rend cette égalité vraie.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Un ordre de colonnes stable et des opérations de lignes explicites rendent le système facile à résoudre.

Sources et exemples

Référence : OpenStax, Gauss. Matrices et valeurs sont celles d’un exemple original vérifié, sans données statistiques.

Matrice augmentée
Coefficients et seconds membres alignés.
Pivot
Coefficient non nul utilisé pour éliminer.
Forme échelonnée
Premiers coefficients non nuls de plus en plus à droite.
Remontée
Substitution en partant des dernières inconnues.
Variable libre
Inconnue sans pivot si le système est compatible.

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