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Élimination par combinaison

1èreMathematiquesSystème d'équation et d'inequation a trois inconnusÉlimination par combinaison~3 min de lecture

Une combinaison réversible élimine des inconnues sans changer les solutions.

Élimination par combinaison

Objectifs

  • Combiner et substituer.
  • Réduire un système à trois inconnues.
  • Classer les solutions.

Conserver les solutions

Résoudre un système à trois inconnues, c’est trouver les triplets qui vérifient toutes les équations simultanément. On peut permuter les équations, multiplier une équation par un nombre non nul, ou lui ajouter un multiple d’une autre. Ces transformations sont réversibles. La substitution remplace une inconnue par une expression équivalente obtenue dans une équation.

Pourquoi \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\) conserve-t-il les solutions ?

Voir la solution après avoir cherché
Toute solution initiale vérifie la combinaison.
On conserve la première équation et on retrouve l’ancienne deuxième en ajoutant deux fois la première.
La transformation est réversible ; supprimer la première équation ferait perdre cette garantie.

Quelle opération perd généralement de l’information ?

  1. Échanger deux équations
  2. Multiplier une équation par zéro
  3. Ajouter la première équation à la deuxième
Une multiplication par zéro remplace une contrainte par une identité.

Éliminer puis substituer

\[\begin{cases}x+y+z=6\\2x-y+z=3\\x+2y-z=2.\end{cases}\]

Commence par annuler le coefficient de la première inconnue dans les deux dernières équations.

Résous par combinaison, puis vérifie.

Voir la solution après avoir cherché
On applique \(L_2-2L_1\) et \(L_3-L_1\) en conservant \(L_1\) : \[\begin{cases}x+y+z=6\\-3y-z=-9\\y-2z=-4.\end{cases}\]
On ajoute la deuxième relation à trois fois la troisième : \[-7z=-21,\qquad z=3.\]
La troisième donne \(y-6=-4\), donc \(y=2\). La première donne \(x=1\).
Vérification initiale : \[1+2+3=6,\quad2-2+3=3,\quad1+4-3=2.\] Le triplet est \((1,2,3)\).

Que donne \(L_3-L_1\) ?

  1. \(y-2z=-4\)
  2. \(y=4\)
  3. \(3y=8\)
On soustrait chaque coefficient et les seconds membres.

Unique, aucune ou une infinité

Une ligne \(0=5\) est impossible : aucune solution. Une ligne \(0=0\) est redondante, mais elle ne prouve pas à elle seule qu’il existe une infinité de solutions : il faut examiner tout le système. Sans contradiction, une inconnue libre conduit à une famille de solutions ; si toutes sont déterminées, la solution est unique.

Étudie \(x+y+z=4\), \(2x+2y+2z=8\), \(x-y=0\).

Voir la solution après avoir cherché
La deuxième est le double de la première : elle donne \(0=0\) après élimination.
La troisième donne \(y=x\), puis \(z=4-2x\).
Les solutions sont \((t,t,4-2t)\), pour tout réel \(t\). Il existe une infinité de solutions.
flowchart TD
A[Systeme transforme] --> B{Contradiction}
B -->|Oui| C[Aucune solution]
B -->|Non| D{Parametre libre}
D -->|Oui| E[Infinite de solutions]
D -->|Non| F[Solution unique]

Une ligne \(0=0\) est-elle une contradiction ?

  1. Oui
  2. Non
C’est une identité ; on examine encore les autres lignes.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Choisis une élimination simple, garde des équations équivalentes et vérifie chaque solution.

Solution
Triplet satisfaisant toutes les équations.
Combinaison
Ajout d’un multiple d’une équation à une autre.
Substitution
Remplacement par une expression équivalente.
Contradiction
Une égalité impossible interdit toute solution.
Paramètre libre
Variable que l’on peut choisir dans une famille de solutions.

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