Objectifs

• Identifier les opérations élémentaires.
• Échelonner une matrice augmentée.
• Lire les pivots et vérifier une solution.

Des opérations qui gardent les solutions

Une matrice augmentée rassemble les coefficients d’un système et, après une barre, les seconds membres. Chaque ligne représente une équation. On peut échanger deux lignes, multiplier une ligne par un nombre non nul, ou ajouter à une ligne un multiple d’une autre. Ces opérations sont réversibles : elles conservent l’ensemble des solutions. Dans une opération, on transforme aussi le second membre.

Exemple fictif : \(x+y=5\) et \(2x+3y=12\). Remplace la deuxième ligne par \(L_2-2L_1\).

Choisir un pivot et annuler en dessous

Un pivot est un coefficient non nul choisi pour éliminer les coefficients situés en dessous dans sa colonne. Si la ligne du pivot est \(L_k\) et le coefficient à annuler est \(a_{ik}\), on emploie \(L_i\leftarrow L_i-\frac{a_{ik}}{a_{kk}}L_k\), avec \(a_{kk}\ne0\). On travaille ensuite sur les lignes restantes, sans détruire les zéros déjà obtenus.

Exercice fictif : échelonne \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&3&1&11\\-1&1&2&7\end{array}\right]\).

Lire une forme échelonnée et contrôler

Dans une forme échelonnée, les lignes entièrement nulles sont placées en bas et le premier coefficient non nul d’une ligne est plus à droite que celui de la ligne précédente. Les pivots n’ont pas besoin de valoir un. Une forme échelonnée n’est pas forcément réduite : on n’a pas encore annulé tous les coefficients au-dessus des pivots.

flowchart LR
A[Matrice augmentee] --> B[Pivot non nul]
B --> C[Eliminer en dessous]
C --> D[Colonne suivante]
D --> E[Forme echelonnee]
E --> F[Remontee et controle]

Reprends la matrice échelonnée précédente. Trouve puis vérifie la solution.

Erreurs fréquentes

Résumé

Le pivot organise des transformations réversibles ; l’échelonnement simplifie la résolution, puis une substitution contrôle le résultat.

Cartes mémo

Réponds avant de retourner chaque carte.