Le théorème relie des longueurs correspondantes quand les alignements et le parallélisme sont établis.

Thalès : énoncé et conditions

Objectifs

Repérer le sommet et les alignements.
Énoncer les trois rapports.
Distinguer données et conclusions.

Lire la configuration

On considère un triangle \(ABC\) non aplati : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés. Si \(M\in[AB]\), \(N\in[AC]\), \(M\ne A\), et \((MN)\parallel(BC)\), alors :

\[\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.\]

Dans cette première configuration, \(A\) est le sommet commun aux deux triangles. Les côtés se correspondent : \(AM\) avec \(AB\), \(AN\) avec \(AC\), \(MN\) avec \(BC\).

M est placé sur le côté AB et N sur le côté AC, dans un ordre cohérent à partir de A.

Le segment MN est parallèle à BC. Cette information est une hypothèse ; un dessin seul ne la prouve pas.

Quel parallélisme est requis ?

\((AM)\parallel(AB)\)
\((MN)\parallel(BC)\)
\((AN)\parallel(AB)\)

Le segment qui joint les deux côtés doit être parallèle au troisième côté.

Associer les côtés dans le même ordre

Complète \(\frac{AM}{AB}=\frac{\cdots}{AC}=\frac{MN}{\cdots}\).

Voir la solution après avoir cherché

Le côté qui correspond à \(AC\) dans le petit triangle est \(AN\).

Le grand côté parallèle à \(MN\) est \(BC\).

On obtient \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\). On pourrait aussi inverser tous les rapports, à condition qu’ils soient non nuls.

Quelle écriture mélange les sens et ne convient pas en général ?

\(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}\)
\(\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}\)
\(\frac{AM}{AB}=\frac{AC}{AN}\)

Dans la dernière proposition, le premier rapport est petit sur grand et le second grand sur petit.

Distinguer une hypothèse et une conclusion

Le théorème direct part d’un parallélisme établi pour conclure à des rapports égaux. Sa réciproque part d’une égalité de rapports, avec les conditions de position, pour conclure au parallélisme. Dans une configuration dite papillon, \(M\) et \(B\) peuvent être sur des demi-droites opposées issues de \(A\), à condition que \(N\) et \(C\) soient placés de manière correspondante et que le parallélisme soit établi ; les mêmes rapports de longueurs correspondantes s’appliquent.

Exercice fictif : les conditions de la figure sont établies, \(AB=6\), \(AM=3\), \(AC=10\), en centimètres. Quelle égalité peut-on écrire avant de calculer \(AN\) ?

Voir la solution après avoir cherché

On cite les alignements et le parallélisme.

Par Thalès, \(\frac36=\frac{AN}{10}\).

On en déduit \(AN=5\,\mathrm{cm}\), et non l’inverse.

Peut-on affirmer le parallélisme uniquement parce que le dessin semble régulier ?

Le dessin aide à repérer la configuration, mais une donnée ou une preuve doit établir la relation.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Lire la configuration avant de calculer évite d’appliquer une égalité hors de ses conditions.

Cartes mémo : cherche avant de retourner

Sommet commun

Point de rencontre des deux droites sécantes.

Parallélisme requis

\((MN)\parallel(BC)\).

Correspondance

\(AM\leftrightarrow AB\), \(AN\leftrightarrow AC\), \(MN\leftrightarrow BC\).

Théorème direct

Parallélisme et alignements donnent les rapports égaux.