Objectifs

• Appliquer une méthode d'enquête en cinq étapes pour trouver un lieu géométrique.
• Reconnaître le cercle, le disque et l'extérieur d'un cercle comme lieux liés à une distance donnée.
• Démontrer, avec le théorème de Pythagore, que la médiatrice est le lieu des points équidistants de deux points.
• Identifier la région des points plus proches d'un point que d'un autre (demi-plan).
• Combiner deux conditions pour localiser un point.

1. La méthode de l'enquête

Notion clé : définition

Le lieu géométrique des points qui vérifient une propriété est l'ensemble de tous les points qui la vérifient, et seulement de ceux-là. Il ne suffit donc pas de trouver quelques points : il faut être sûr de n'en oublier aucun et de n'en ajouter aucun de trop.

flowchart LR
  A[Lire la condition] --> B[Placer des points]
  B --> C[Deviner la figure]
  C --> D[Démontrer]
  D --> E[Tracer le lieu]

2. Enquête n° 1 : à distance donnée d'un point

Mener l'enquête

Notion clé : cercle, disque, extérieur

Soit \( O \) un point et \( r \) un nombre positif.

• Le lieu des points \( M \) tels que \( OM = r \) est le cercle de centre \( O \) et de rayon \( r \).
• Le lieu des points \( M \) tels que \( OM \leq r \) est le disque de centre \( O \) et de rayon \( r \) (le cercle et son intérieur).
• Le lieu des points \( M \) tels que \( OM > r \) est l'extérieur du cercle.

Exemple résolu 1 : la portée d'un haut-parleur

Exemple : lors d'une fête de quartier à Parakou, un haut-parleur placé au point \( O \) s'entend jusqu'à 50 m. La maison de Rachida est à 35 m de \( O \), celle de Serge à 62 m. Qui entend la musique ? Décris la zone où on l'entend.

3. Enquête n° 2 : à égale distance de deux points

Mener l'enquête

Notion clé : démontrer dans les deux sens

Sens 1 : tout point de la médiatrice est équidistant de \( A \) et \( B \). Soit \( M \) sur la médiatrice, \( I \) le milieu de \( [AB] \). Les triangles \( MIA \) et \( MIB \) sont rectangles en \( I \), donc :

\[ MA^2 = MI^2 + IA^2 \quad \text{et} \quad MB^2 = MI^2 + IB^2 \]

Comme \( IA = IB \), on obtient \( MA^2 = MB^2 \), donc \( MA = MB \).

Sens 2 : tout point équidistant de \( A \) et \( B \) est sur la médiatrice. Soit \( M \) tel que \( MA = MB \), et \( H \) le pied de la perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( M \). Par Pythagore dans les triangles rectangles en \( H \) :

\[ HA^2 = MA^2 - MH^2 \quad \text{et} \quad HB^2 = MB^2 - MH^2 \]

Comme \( MA = MB \), on obtient \( HA = HB \) : \( H \) est le milieu \( I \) de \( [AB] \). Donc \( M \) est sur la perpendiculaire à \( (AB) \) passant par \( I \), c'est-à-dire sur la médiatrice.

4. Enquête n° 3 : plus près de l'un que de l'autre

Notion clé

La médiatrice de \( [AB] \) partage le plan en deux demi-plans.

• Le lieu des points \( M \) tels que \( MA < MB \) est le demi-plan délimité par la médiatrice qui contient \( A \) (sans la médiatrice).
• Le lieu des points \( M \) tels que \( MA > MB \) est l'autre demi-plan, celui qui contient \( B \).
• La frontière, où \( MA = MB \), est la médiatrice elle-même.

Exemple résolu 2 : dans un repère

Dans un repère orthonormé, les forages sont en \( A(0\,;\,0) \) et \( B(6\,;\,0) \). La famille de Mariam habite en \( P(2\,;\,5) \). Vers quel forage va-t-elle ?

5. Combiner deux conditions

Notion clé

Un point qui doit vérifier deux conditions appartient aux deux lieux à la fois : on cherche l'intersection des deux figures. Un cercle et une droite peuvent avoir 0, 1 ou 2 points communs, selon que la distance du centre à la droite est plus grande que le rayon, égale au rayon ou plus petite.

Exemple résolu 3

Dans un repère orthonormé, l'arbre est en \( O(0\,;\,0) \) et les cases en \( A(2\,;\,0) \) et \( B(4\,;\,0) \). Trouve les positions possibles du trésor, à 5 unités de \( O \) et à égale distance de \( A \) et \( B \).

Erreurs fréquentes

• Confondre cercle et disque : « à 3 cm de \( O \) » donne le cercle ; « à 3 cm au plus de \( O \) » donne le disque.
• Prendre la médiatrice pour un segment : c'est une droite entière, qui se prolonge des deux côtés de \( [AB] \).
• Tracer une perpendiculaire qui ne passe pas par le milieu : sans le milieu, les points ne sont plus équidistants de \( A \) et \( B \).
• Se contenter de quelques points : placer des points permet de deviner ; seule la démonstration prouve que le lieu est complet.
• Oublier une solution lors d'une intersection : un cercle et une droite peuvent se couper en deux points.

Récapitulatif