Objectifs

• Décrire un ensemble en extension ou en compréhension, utiliser les symboles \(\in\) et \(\notin\).
• Reconnaître et démontrer une inclusion \(A \subset B\), connaître l’ensemble vide et les parties d’un ensemble.
• Déterminer l’intersection, la réunion et le complémentaire d’ensembles, y compris d’intervalles.
• Utiliser un diagramme de Venn et la formule du cardinal d’une réunion pour résoudre un problème de dénombrement.
• Faire le lien entre les opérations sur les ensembles et les connecteurs logiques « et », « ou », « non », « implique ».

1. Ensemble et appartenance

Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments. Si \(x\) est un élément de \(E\), on écrit \(x \in E\) (« \(x\) appartient à \(E\) ») ; sinon \(x \notin E\).

On décrit un ensemble :

• en extension, en citant tous ses éléments entre accolades : \(A = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,6\,;\,12\}\) ;
• en compréhension, par une propriété caractéristique : \(A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ divise } 12\}\).

L’ordre des éléments ne compte pas et on n’écrit pas deux fois le même élément. L’ensemble qui ne contient aucun élément est l’ensemble vide, noté \(\varnothing\). Le nombre d’éléments d’un ensemble fini \(A\) est son cardinal, noté \(\operatorname{card}(A)\) : ici \(\operatorname{card}(A) = 6\).

2. Inclusion et parties d’un ensemble

On dit que \(A\) est inclus dans \(B\), et on écrit \(A \subset B\), si tout élément de \(A\) est aussi élément de \(B\) :

On dit aussi que \(A\) est une partie (ou un sous-ensemble) de \(B\). Exemples : \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) ; pour tout ensemble \(A\), \(\varnothing \subset A\) et \(A \subset A\).

L’ensemble de toutes les parties de \(E\) se note \(\mathcal{P}(E)\). Si \(E\) a \(n\) éléments, il a \(2^n\) parties (chaque élément est pris ou non : deux choix, \(n\) fois).

Exemple résolu 1

Écris toutes les parties de \(E = \{a\,;\,b\,;\,c\}\). Cherche d’abord, puis dévoile.

Exemple résolu 2

Soit \(A = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est multiple de } 6\}\) et \(B = \{n \in \mathbb{N} \mid n \text{ est multiple de } 3\}\). Montre que \(A \subset B\). A-t-on \(B \subset A\) ?

3. Intersection, réunion, complémentaire

• Intersection : \(A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \in B\}\) (« A inter B »).
• Réunion : \(A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\) (« A union B ») ; le « ou » est inclusif : un élément des deux est dans la réunion.
• Complémentaire de \(A\) dans \(E\) (avec \(A \subset E\)) : \(\overline{A} = \{x \in E \mid x \notin A\}\).
• Différence : \(A \setminus B = \{x \in A \mid x \notin B\}\) (« A privé de B »).
• \(A\) et \(B\) sont disjoints si \(A \cap B = \varnothing\).

Le diagramme de Venn représente ces ensembles par des zones. Construis-le étape par étape :

Exemple résolu 3

\(A\) est l’ensemble des diviseurs de 12, \(B\) celui des diviseurs de 18. Détermine \(A \cap B\), \(A \cup B\) et \(A \setminus B\).

Avec des intervalles

Sur une droite graduée, l’intersection est la partie commune des deux segments, la réunion est tout ce qui est couvert par au moins l’un des deux.

Exemple : avec \(I = [-2\,;\,5]\) et \(J = \,]1\,;\,8]\), on obtient \(I \cap J = \,]1\,;\,5]\) et \(I \cup J = [-2\,;\,8]\). Dans \(\mathbb{R}\), le complémentaire de \(I\) est \(\overline{I} = \,]-\infty\,;\,-2[\, \cup \,]5\,;\,+\infty[\).

À toi : place chaque nom sur la bonne zone du diagramme.

4. Dénombrer avec la formule du cardinal

Vérification sur l’exemple 3 : \(6 + 6 - 4 = 8 = \operatorname{card}(A \cup B)\).

Exemple résolu 4

Dans une classe de 40 élèves à Abidjan, 25 jouent au football, 18 au basket et 8 pratiquent les deux. Combien pratiquent au moins un de ces sports ? Combien n’en pratiquent aucun ? Combien font seulement du football ? Cherche d’abord.

5. Ensembles et logique

Les lois de De Morgan traduisent « la négation de “et” est “ou” » :

Dans l’exemple 4 : ne pratiquer « ni le football ni le basket », c’est appartenir à \(\overline{F} \cap \overline{B} = \overline{F \cup B}\), soit 5 élèves.

Erreurs fréquentes

• Confondre \(\in\) (élément) et \(\subset\) (ensemble).
• Oublier \(\varnothing\) ou l’ensemble lui-même dans la liste des parties.
• Additionner les cardinaux sans retirer l’intersection : on compte deux fois les éléments communs.
• Croire que le « ou » est exclusif : un élément des deux ensembles appartient bien à la réunion.
• Se tromper de crochet aux bornes lors de l’intersection ou de la réunion d’intervalles.

Récapitulatif

Un élément appartient (\(\in\)) à un ensemble ; un ensemble est inclus (\(\subset\)) dans un autre si tous ses éléments y sont. L’intersection garde ce qui est commun (« et »), la réunion rassemble tout (« ou »), le complémentaire garde ce qui manque (« non »). Pour compter : \(\operatorname{card}(A \cup B) = \operatorname{card}(A) + \operatorname{card}(B) - \operatorname{card}(A \cap B)\).