Épreuves successives et indépendance

Quand on enchaîne plusieurs expériences aléatoires, on les représente par un arbre et on multiplie les probabilités le long d'un chemin ; deux événements sont indépendants quand savoir que l'un est réalisé ne change pas la probabilité de l'autre, c'est-à-dire quand \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).

Objectifs

Modéliser une succession d'épreuves par un arbre pondéré.
Calculer la probabilité d'un chemin et utiliser la formule des probabilités totales.
Définir et reconnaître deux événements indépendants.
Traiter des épreuves indépendantes successives, en particulier la répétition d'une même épreuve.

1. Épreuves successives et arbre pondéré

Une expérience composée de plusieurs étapes se représente par un arbre pondéré : chaque branche porte une probabilité, et la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut \(1\). Sur les branches du second niveau, on écrit des probabilités conditionnelles : par exemple \(P_M(V)\), probabilité de \(V\) sachant \(M\).

On note \(M\) « la mangue est mûre » et \(V\) « elle est verte ». Avec remise, la composition du sac est la même au second tirage.

Premier tirage : \(P(M) = \frac{3}{5} = 0{,}6\) et \(P(V) = \frac{2}{5} = 0{,}4\).

Second tirage : avec remise, les probabilités sont les mêmes quel que soit le premier résultat.

On multiplie le long de chaque chemin ; la somme des quatre résultats vaut bien \(0{,}36 + 0{,}24 + 0{,}24 + 0{,}16 = 1\).

Exemple résolu : avec ou sans remise ?

Calcule la probabilité de tirer deux mangues mûres, d'abord avec remise, puis sans remise. Cherche d'abord.

Avec remise : \(P(M_1 \cap M_2) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} = 0{,}36\).

Sans remise : après une mangue mûre tirée, il reste 4 mangues dont 2 mûres, donc \(P_{M_1}(M_2) = \frac{2}{4}\).

\(P(M_1 \cap M_2) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

Conclusion : sans remise, le second tirage dépend du premier ; avec remise, il n'en dépend pas.

Formule des probabilités totales

Si \(A\) et \(\overline{A}\) partagent l'univers, pour tout événement \(B\) :

\[ P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B) = P(A) \times P_A(B) + P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B) \]

Avec remise, quelle est la probabilité d'obtenir exactement une mangue verte en deux tirages ?

0,24
0,48
0,16

Deux chemins mènent à « une verte » : \(MV\) et \(VM\). \(0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48\).

2. Événements indépendants

Définition. Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants lorsque

\[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B). \]

Si \(P(A) \neq 0\), cela équivaut à \(P_A(B) = P(B)\) : savoir que \(A\) est réalisé ne modifie pas la probabilité de \(B\).

Exemple résolu : un dé équilibré

On lance un dé à six faces. \(A\) : « le résultat est pair », \(B\) : « le résultat est inférieur ou égal à 2 », \(C\) : « le résultat est supérieur ou égal à 4 ». \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Et \(A\) et \(C\) ?

\(A = \{2;4;6\}\), \(P(A) = \frac{1}{2}\) ; \(B = \{1;2\}\), \(P(B) = \frac{1}{3}\) ; \(C = \{4;5;6\}\), \(P(C) = \frac{1}{2}\).

\(A \cap B = \{2\}\) donc \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\), et \(P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants.

\(A \cap C = \{4;6\}\) donc \(P(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\), alors que \(P(A) \times P(C) = \frac{1}{4}\) : \(A\) et \(C\) ne sont pas indépendants.

Exemple résolu : une classe de Lomé

Dans une classe, \(60\,\%\) des élèves sont des filles. Parmi les filles, \(40\,\%\) choisissent la spécialité maths ; parmi les garçons, \(50\,\%\). On choisit un élève au hasard. \(F\) : « fille », \(S\) : « spécialité maths ». Calcule \(P(S)\) ; \(F\) et \(S\) sont-ils indépendants ?

Voir la solution

\begin{align} P(S) &= P(F) \times P_F(S) + P(\overline{F}) \times P_{\overline{F}}(S) \\ &= 0{,}6 \times 0{,}4 + 0{,}4 \times 0{,}5 \\ &= 0{,}24 + 0{,}20 = 0{,}44 \end{align}

\(P(F \cap S) = 0{,}24\) mais \(P(F) \times P(S) = 0{,}6 \times 0{,}44 = 0{,}264\). Les deux nombres sont différents : \(F\) et \(S\) ne sont pas indépendants (on le voit aussi car \(P_F(S) = 0{,}4 \neq P(S) = 0{,}44\)).

\(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\) et \(P(A \cap B) = 0{,}2\). Alors…

\(A\) et \(B\) sont indépendants.
\(A\) et \(B\) sont incompatibles.
On ne peut rien dire.

\(0{,}5 \times 0{,}4 = 0{,}2 = P(A \cap B)\) : la définition de l'indépendance est vérifiée. Ils ne sont pas incompatibles puisque \(P(A \cap B) \neq 0\).

3. Succession d'épreuves indépendantes

Quand les épreuves sont indépendantes (le résultat de l'une n'influence pas les autres), les branches de l'arbre portent les mêmes probabilités à chaque niveau, et la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat :

\[ P\big((x_1, x_2, \dots, x_n)\big) = P(x_1) \times P(x_2) \times \dots \times P(x_n). \]

Exemple résolu : les deux feux

Probabilité que les deux feux soient verts ? Qu'au moins un soit vert ?

Deux verts : \(0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\).

« Au moins un vert » a pour contraire « aucun vert » : \(0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\).

Donc \(P(\text{au moins un vert}) = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\).

Fais varier \(p\) et observe comment la probabilité d'avoir au moins un succès grandit avec le nombre \(n\) d'épreuves (en abscisse) :

Répétition d'une même épreuve à deux issues

On répète \(3\) fois, de façon indépendante, une épreuve qui donne « succès » avec probabilité \(p = 0{,}3\). Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un succès ?

Voir la solution

Trois chemins donnent exactement un succès : \(S\overline{S}\,\overline{S}\), \(\overline{S}S\overline{S}\), \(\overline{S}\,\overline{S}S\). Chacun a pour probabilité \(0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}7 = 0{,}147\).

\[ P(\text{un seul succès}) = 3 \times 0{,}147 = 0{,}441. \]

On lance 3 fois une pièce équilibrée. Probabilité d'obtenir au moins une fois « pile » ?

\(\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{7}{8}\)

Le contraire est « trois fois face » : \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\). Donc \(1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\).

Erreurs fréquentes

Additionner au lieu de multiplier le long d'un chemin (on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre chemins).
Confondre « indépendants » et « incompatibles ».
Oublier qu'un tirage sans remise rend les tirages dépendants.
Calculer « au moins un » chemin par chemin au lieu de passer par l'événement contraire.

Récapitulatif

Arbre pondéré : produit le long d'un chemin, somme des chemins menant à un même événement.
Probabilités totales : \(P(B) = P(A)P_A(B) + P(\overline{A})P_{\overline{A}}(B)\).
Indépendance : \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\), ou \(P_A(B) = P(B)\).
Épreuves indépendantes successives : on multiplie les probabilités de chaque résultat.

Probabilité d'un chemin

Produit des probabilités des branches : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\).

Probabilités totales

\(P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)\).

Événements indépendants

\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).

Indépendants ou incompatibles ?

Incompatibles : \(A \cap B = \varnothing\). Ce n'est pas la même chose.

Au moins un succès

\(1 - (1-p)^n\) pour \(n\) épreuves indépendantes.