Équation cartésienne d'un plan
Équation cartésienne d'un plan
Un plan de l'espace est entièrement décrit par un point et un vecteur normal (une « flèche » perpendiculaire au plan) ; ses points vérifient alors une équation du type \(ax + by + cz + d = 0\), où \((a;b;c)\) sont les coordonnées du vecteur normal.
Objectifs
- Connaître la notion de vecteur normal à un plan.
- Déterminer une équation cartésienne d'un plan à partir d'un point et d'un vecteur normal, ou de trois points.
- Lire un vecteur normal sur une équation et tester l'appartenance d'un point.
- Étudier les positions relatives de plans et l'intersection d'une droite et d'un plan.
- Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan.
Le repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) est orthonormé dans tout le cours.
1. Vecteur normal à un plan
Un vecteur non nul \(\vec{n}\) est normal à un plan \(\mathcal{P}\) s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de \(\mathcal{P}\). Il est alors orthogonal à tous les vecteurs du plan.
On se donne un point \(A\) du plan \(\mathcal{P}\).
Le vecteur \(\vec{n}\) est perpendiculaire au plan : c'est un vecteur normal.
Un point \(M\) est dans \(\mathcal{P}\) exactement quand \(\overrightarrow{AM}\) est orthogonal à \(\vec{n}\).
2. Équation cartésienne d'un plan
Théorème. Un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\) admet une équation de la forme
\[ ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec } d \in \mathbb{R}. \]Réciproquement, si \(a\), \(b\), \(c\) ne sont pas tous nuls, l'ensemble des points \(M(x;y;z)\) vérifiant \(ax + by + cz + d = 0\) est un plan de vecteur normal \(\vec{n}(a;b;c)\).
Pourquoi ? Avec \(A(x_A;y_A;z_A)\) : \(\overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0\), qui s'écrit \(ax + by + cz + d = 0\) avec \(d = -(a x_A + b y_A + c z_A)\).
Exemple résolu 1 : un point et un vecteur normal
Détermine une équation du plan \(\mathcal{P}\) passant par \(A(1;-2;3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(2;-1;4)\). Cherche d'abord.
Un vecteur normal au plan d'équation \(3x - 2z + 5 = 0\) est…
Le point \(B(1;1;1)\) appartient-il au plan \(2x - y + 4z - 16 = 0\) ?
Exemple résolu 2 : un plan passant par trois points
Détermine une équation du plan \((ABC)\) avec \(A(1;0;0)\), \(B(0;2;0)\), \(C(0;0;3)\).
Avec les valeurs de départ \(a = 6\), \(b = 3\), \(d = -6\), on retrouve la trace du plan \((ABC)\) : la droite qui passe par \(A(1;0)\) et \(B(0;2)\).
3. Positions relatives
- Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
- Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux : \(\vec{n} \cdot \vec{n'} = 0\).
- Une droite de vecteur directeur \(\vec{u}\) est orthogonale au plan si \(\vec{u}\) est colinéaire à \(\vec{n}\), et parallèle au plan si \(\vec{u} \cdot \vec{n} = 0\).
Exemple résolu 3
\(\mathcal{P} : 2x - y + z + 1 = 0\), \(\mathcal{Q} : -4x + 2y - 2z + 5 = 0\), \(\mathcal{R} : x + 2y - 3 = 0\). Étudie les positions de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{Q}\), puis de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{R}\).
Voir la solution
\(\vec{n}_{\mathcal{P}}(2;-1;1)\), \(\vec{n}_{\mathcal{Q}}(-4;2;-2) = -2\,\vec{n}_{\mathcal{P}}\) : les plans sont parallèles. En multipliant l'équation de \(\mathcal{P}\) par \(-2\) on obtient \(-4x + 2y - 2z - 2 = 0\) ; comme \(-2 \neq 5\), ils sont strictement parallèles (distincts).
\(\vec{n}_{\mathcal{R}}(1;2;0)\) et \(\vec{n}_{\mathcal{P}} \cdot \vec{n}_{\mathcal{R}} = 2 \times 1 + (-1) \times 2 + 1 \times 0 = 0\) : \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{R}\) sont perpendiculaires.
Les plans \(x + y + z = 0\) et \(x - y = 0\) sont…
4. Intersection d'une droite et d'un plan, projeté orthogonal
Méthode. On remplace \(x\), \(y\), \(z\) de la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan, on résout en \(t\), puis on calcule le point.
Exemple résolu 4 : intersection
\(\mathcal{P} : x + y + z - 6 = 0\) et \(d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 3 - t \end{cases}\ (t \in \mathbb{R})\).
Exemple résolu 5 : projeté orthogonal d'un point
Détermine le projeté orthogonal \(H\) de \(M(3;1;4)\) sur \(\mathcal{P} : x + y + z - 6 = 0\), puis la distance \(MH\).
Voir la solution
La droite passant par \(M\) et dirigée par \(\vec{n}(1;1;1)\) a pour représentation \(x = 3 + t\), \(y = 1 + t\), \(z = 4 + t\).
\begin{align} (3 + t) + (1 + t) + (4 + t) - 6 = 0 &\iff 2 + 3t = 0 \\ &\iff t = -\tfrac{2}{3} \end{align}Donc \(H\left(\tfrac{7}{3};\tfrac{1}{3};\tfrac{10}{3}\right)\) (vérification : \(\tfrac{7 + 1 + 10}{3} = 6\)). Enfin \(\overrightarrow{MH} = -\tfrac{2}{3}\vec{n}\), donc \(MH = \tfrac{2}{3}\sqrt{3} = \tfrac{2\sqrt{3}}{3}\).
Erreurs fréquentes
- Oublier un coefficient nul : dans \(3x - 2z + 5 = 0\), le vecteur normal est \((3;0;-2)\).
- Prendre \(d\) pour une coordonnée du vecteur normal.
- Choisir trois points alignés pour définir un plan : vérifier que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
- Conclure « parallèles » sans vérifier si les plans sont confondus.
Récapitulatif
- \(\vec{n}\) normal à \(\mathcal{P}\) : orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
- \(M \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec{n} = 0 \iff ax + by + cz + d = 0\).
- Plans parallèles : normaux colinéaires ; perpendiculaires : \(\vec{n} \cdot \vec{n'} = 0\).
- Intersection droite-plan : injecter la représentation paramétrique dans l'équation.
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