Équation différentielle du premier ordre en Physique-Chimie

Les transformations nucléaires, comme la désintégration radioactive, peuvent être modélisées à l'aide d'une équation différentielle du premier ordre. Cette équation relie la variation de la quantité radioactive au cours du temps à sa valeur instantanée.

1. Introduction à l'équation différentielle du premier ordre

Une équation différentielle du premier ordre a la forme générale :

  \[ rac{dy}{dt} = f(t,y) \]

où \( y(t) \) est la variable inconnue dépendant du temps \( t \), et \( f(t,y) \) est une fonction donnée.

2. Application à la désintégration radioactive

Soit \( N(t) \) le nombre de noyaux radioactifs au temps \( t \). La loi de désintégration dit que :

  \[ rac{dN}{dt} = -\lambda N(t) \]

avec \( \lambda > 0 \) la constante de désintégration caractéristique du noyau.

3. Résolution de l'équation

Ce type d'équation est séparables. En séparant les variables, on obtient :

  \[ rac{dN}{N} = -\lambda dt \]

En intégrant, on trouve :

  \[ \int rac{dN}{N} = -\lambda \int dt \]

Ce qui donne :

  \[ \ln |N| = -\lambda t + C \]

En exponentiant, on a la solution générale :

  \[ N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \]

où \( N_0 \) est la quantité de noyaux au départ (au temps \( t=0 \)).

4. Interprétation

Cette équation montre que le nombre de noyaux diminue de façon exponentielle avec le temps. Le paramètre \( \lambda \) détermine la rapidité de cette décroissance.

5. Résumé

• Équation : \( rac{dN}{dt} = -\lambda N \)
• Solution : \( N(t) = N_0 e^{-\lambda t} \)
• Application : modélisation de la désintégration radioactive