Équation d’un cercle à partir du centre et du rayon

Un point \(M(x\,;y)\) est sur le cercle de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rayon \(r\) exactement quand \(\Omega M = r\), ce qui s’écrit \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Objectifs

Comprendre d’où vient l’équation d’un cercle (distance et théorème de Pythagore).
Écrire l’équation d’un cercle connaissant son centre et son rayon.
Vérifier si un point appartient à un cercle, ou s’il est à l’intérieur ou à l’extérieur.
Retrouver le centre et le rayon à partir d’une équation développée.

Dans tout le chapitre, on travaille dans un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j})\).

1. Le cercle : des points à la même distance du centre

Rappel : dans un repère orthonormé, la distance entre \(A(x_A\,;y_A)\) et \(B(x_B\,;y_B)\) vaut

\[ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}. \]

Regarde la figure se construire : on part d’un point \(M\) du cercle et on fait apparaître un triangle rectangle.

On place un point \(M(x\,;y)\) sur le cercle : le segment \([\Omega M]\) est un rayon, donc \(\Omega M=r\).

On trace un triangle rectangle : son côté horizontal mesure \(x-a\) (écart des abscisses) et son côté vertical \(y-b\) (écart des ordonnées), au signe près.

Le théorème de Pythagore dans ce triangle donne \((x-a)^2+(y-b)^2=\Omega M^2=r^2\) : c’est l’équation du cercle.

2. L’équation cartésienne du cercle

Un point \(M(x\,;y)\) appartient au cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rayon \(r\) si et seulement si \(\Omega M=r\). Comme \(\Omega M\) et \(r\) sont positifs, cela équivaut à \(\Omega M^2=r^2\), c’est-à-dire :

Manipule les curseurs : \(a\) et \(b\) déplacent le centre, \(r\) change le rayon. Le cercle est tracé en deux moitiés : \(y=b+\sqrt{r^2-(x-a)^2}\) (moitié haute) et \(y=b-\sqrt{r^2-(x-a)^2}\) (moitié basse). Selon la taille de l’écran, le dessin peut paraître légèrement aplati.

Exemple résolu 1 : écrire l’équation

Écris une équation du cercle \(\mathcal{C}_1\) de centre \(\Omega(2\,;-3)\) et de rayon \(4\), puis développe-la.

On repère \(a=2\), \(b=-3\) et \(r=4\), donc \(r^2=16\).

On remplace dans la formule : \[ (x-2)^2+(y-(-3))^2=16 \quad\text{soit}\quad (x-2)^2+(y+3)^2=16. \]

On développe avec les identités remarquables : \begin{align} x^2-4x+4+y^2+6y+9&=16\\ x^2+y^2-4x+6y-3&=0. \end{align}

Les deux écritures décrivent le même cercle : la forme \((x-2)^2+(y+3)^2=16\) montre directement le centre et le rayon.

Exemple résolu 2 : le rayon n’est pas donné

Le cercle \(\mathcal{C}_2\) a pour centre \(\Omega(1\,;2)\) et passe par \(A(4\,;6)\). Cherche son équation avant d’ouvrir la solution.

Voir la solution

Le rayon est la distance \(\Omega A\) :

\[ \Omega A=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5. \]

Donc \(\mathcal{C}_2 : (x-1)^2+(y-2)^2=25\). Inutile de calculer la racine si on veut seulement \(r^2\) : \(r^2=\Omega A^2=25\).

Quelle est une équation du cercle de centre \(\Omega(-1\,;4)\) et de rayon \(3\) ?

\((x-1)^2+(y+4)^2=9\)
\((x+1)^2+(y-4)^2=3\)
\((x+1)^2+(y-4)^2=9\)

Avec \(a=-1\), on obtient \(x-(-1)=x+1\) ; avec \(b=4\), \(y-4\) ; et le membre de droite est \(r^2=9\), pas \(3\).

Le cercle d’équation \(x^2+y^2=25\) a pour centre et rayon :

\(O(0\,;0)\) et \(r=5\)
\(O(0\,;0)\) et \(r=25\)
\(\Omega(1\,;1)\) et \(r=5\)

\(x^2+y^2=25\) s’écrit \((x-0)^2+(y-0)^2=5^2\) : centre l’origine, rayon \(5\).

3. Un point est-il sur le cercle, dedans ou dehors ?

Exemple résolu 3

On reprend \(\mathcal{C}_1 : (x-2)^2+(y+3)^2=16\). Où se trouvent \(A(6\,;-3)\), \(B(1\,;1)\) et \(C(3\,;-1)\) ?

Pour \(A\) : \((6-2)^2+(-3+3)^2=16+0=16=r^2\), donc \(A\in\mathcal{C}_1\).

Pour \(B\) : \((1-2)^2+(1+3)^2=1+16=17>16\), donc \(B\) est à l’extérieur du cercle.

Pour \(C\) : \((3-2)^2+(-1+3)^2=1+4=5<16\), donc \(C\) est à l’intérieur du cercle.

Le point \(P(3\,;4)\) et le cercle \(\mathcal{C} : x^2+y^2=25\). Que peut-on dire ?

\(P\) est à l’intérieur du cercle.
\(P\) est sur le cercle.
\(P\) est à l’extérieur du cercle.

\(3^2+4^2=9+16=25=r^2\) : les coordonnées de \(P\) vérifient l’équation, donc \(P\) est sur le cercle.

4. Retrouver le centre et le rayon à partir d’une équation développée

Une équation de la forme \(x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0\) peut représenter un cercle, un seul point ou aucun point. On complète les carrés :

\[ x^2-2ax=(x-a)^2-a^2 \qquad\text{et}\qquad y^2-2by=(y-b)^2-b^2. \]

On arrive à \((x-a)^2+(y-b)^2=k\), et on conclut selon le signe de \(k\) :

\(k>0\) : c’est le cercle de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rayon \(\sqrt{k}\) ;
\(k=0\) : c’est le seul point \(\Omega(a\,;b)\) ;
\(k<0\) : aucun point (ensemble vide), car une somme de carrés n’est jamais négative.

flowchart LR
  A[Equation developpee] --> B[Regrouper x et y]
  B --> C[Completer les carres]
  C --> D[Forme egale a k]
  D --> E{Signe de k}
  E -->|k positif| F[Cercle de rayon racine de k]
  E -->|k nul| G[Un seul point]
  E -->|k negatif| H[Ensemble vide]

Exemple résolu 4

Détermine la nature de l’ensemble \(\mathcal{E} : x^2+y^2-6x+2y+6=0\). Cherche d’abord, puis dévoile les étapes.

On regroupe : \((x^2-6x)+(y^2+2y)+6=0\).

On complète les carrés : \(x^2-6x=(x-3)^2-9\) et \(y^2+2y=(y+1)^2-1\).

On remplace : \((x-3)^2-9+(y+1)^2-1+6=0\), soit \((x-3)^2+(y+1)^2=4\).

Comme \(4>0\), \(\mathcal{E}\) est le cercle de centre \(\Omega(3\,;-1)\) et de rayon \(\sqrt{4}=2\).

Exemple résolu 5

Même question pour \(\mathcal{F} : x^2+y^2+4x-2y+9=0\).

Voir la solution

\begin{align} (x^2+4x)+(y^2-2y)+9&=0\\ (x+2)^2-4+(y-1)^2-1+9&=0\\ (x+2)^2+(y-1)^2&=-4. \end{align}

Une somme de deux carrés ne peut pas valoir \(-4\) : \(\mathcal{F}\) est l’ensemble vide. Ce n’est pas un cercle, même si l’équation y ressemble.

L’ensemble d’équation \(x^2+y^2-2x+4y-4=0\) est :

le cercle de centre \(\Omega(-1\,;2)\) et de rayon \(3\)
le cercle de centre \(\Omega(1\,;-2)\) et de rayon \(3\)
le cercle de centre \(\Omega(1\,;-2)\) et de rayon \(9\)

\((x-1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0\) donne \((x-1)^2+(y+2)^2=9\) : centre \((1\,;-2)\), rayon \(\sqrt{9}=3\).

Que représente l’équation \((x-5)^2+(y+2)^2=0\) ?

Un cercle de rayon \(0\)
L’ensemble vide
Le seul point \((5\,;-2)\)

Une somme de deux carrés est nulle seulement si les deux carrés sont nuls : \(x=5\) et \(y=-2\). L’ensemble est réduit à un point.

Récapitulatif

Cercle de centre \(\Omega(a\,;b)\) et de rayon \(r\) : \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\), qui vient de \(\Omega M^2=r^2\) (Pythagore).
Centre \(O\) : \(x^2+y^2=r^2\).
Position d’un point : comparer \(\Omega M^2\) à \(r^2\) (égal : sur ; plus petit : dedans ; plus grand : dehors).
Équation développée : compléter les carrés pour obtenir \((x-a)^2+(y-b)^2=k\), puis regarder le signe de \(k\).

Définition du cercle

Ensemble des points \(M\) tels que \(\Omega M=r\).

Équation du cercle de centre \(\Omega(a\,;b)\), rayon \(r\)

\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)

Cercle de centre \(O\)

\(x^2+y^2=r^2\)

Point dedans, sur ou dehors ?

Comparer \(\Omega M^2\) à \(r^2\) : \(<\) dedans, \(=\) sur, \(>\) dehors.

Compléter le carré

\(x^2-2ax=(x-a)^2-a^2\)

\((x-a)^2+(y-b)^2=k\)

\(k>0\) : cercle de rayon \(\sqrt{k}\) ; \(k=0\) : un point ; \(k<0\) : ensemble vide.