Équations avec radical – Cours pour la 1ère

Équations avec radical

Objectif

Résoudre des équations contenant des expressions avec des racines carrées ou d’autres racines.

Rappel sur les racines

La racine carrée de \( x \) est notée \( \sqrt{x} \) et est définie pour \( x \geq 0 \). Par exemple, \( \sqrt{9} = 3 \).

Étapes pour résoudre une équation avec un radical

Isoler le radical si possible.
Élever au carré (ou à la puissance adaptée) pour éliminer la racine. Attention : cette étape peut introduire des solutions extrêmes, donc il faut vérifier toutes les solutions dans l'équation d'origine.
Simplifier l'équation obtenue.
Résoudre l’équation simple.
Vérifier chaque solution dans l’équation initiale pour éliminer celles qui ne conviennent pas.

Exemple 1 : Résoudre \( \sqrt{x} = 5 \)

Isoler le radical : il est déjà isolé ici.

Élever au carré : \[ (\sqrt{x})^2 = 5^2 \implies x = 25 \]

Vérification : substituer \( x=25 \) dans l’équation. \[ \sqrt{25} = 5 \] correcte. Donc, la solution est \( x=25 \).

Exemple 2 : Résoudre \( \sqrt{x+3} = x-1 \)

Première étape : l’expression de droite doit être positive, donc \( x-1 \geq 0 \implies x \geq 1 \).

Élever au carré : \[ (\sqrt{x+3})^2 = (x-1)^2 \implies x+3 = (x-1)^2 \]

Développer : \[ x+3 = x^2 - 2x + 1 \]

Réécrire : \[ x^2 - 3x - 2 = 0 \]

Résoudre cette équation quadratique :

x^2 - 3x - 2=0\endcode>


Discriminant : \[ \Delta= (-3)^2 - 4 	imes 1 	imes (-2) = 9 + 8=17 \]
Solutions :
x = rac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\]
Calcul approché :
x_1 = rac{3 + \sqrt{17}}{2} \quad 	ext{et} \quad x_2= rac{3 - \sqrt{17}}{2}\]
Vérifier que ces solutions respectent \( x \geq 1 \) et satisfont l’équation initiale :

Pour \( x_1 \) : vérifier si \( \sqrt{x_1+3} = x_1 -1 \)
Pour \( x_2 \) : même chose.

Solution finale : seule la ou les solutions vérifiées dans l’équation initiale sont retenues.
Remarque importante
Élever au carré peut introduire des solutions extrêmes. Toujours vérifier dans l’équation de départ.
Résumé

Isoler le radical.
Élever au carré (ou autre puissance).
Simplifier et résoudre.
Vérifier les solutions.