Équations avec radical

Introduction

Les équations avec radical impliquent des expressions contenant une racine carrée (ou d'autres racines). Résoudre ces équations nécessite de manipuler ces racines pour isoler la variable.

Exemples d'équations avec radical

• \[ \sqrt{x} = 3 \]
• \[ \sqrt{2x + 1} = 5 \]
• \[ \sqrt{x} + 2 = 4 \]

Étapes pour résoudre une équation avec radical

1. Isoler le radical si ce n’est pas déjà fait.
2. Élever chaque côté de l’équation à la puissance correspondant à l’ordre de la racine (pour une racine carrée, on élève au carré).
3. Simplifier l’équation obtenue.
4. Résoudre l’équation obtenue.
5. Vérifier les solutions dans l’équation initiale pour éliminer d’éventuelles solutions extrêmes (valeurs extraites qui ne vérifient pas l’équation d’origine).

Exemple détaillé

Résoudre l’équation \(\sqrt{x} + 3 = 7\)

1. Isoler la racine : \(\sqrt{x} = 7 - 3 = 4\)
2. Élever au carré : \( (\sqrt{x})^2 = 4^2 \Rightarrow x = 16 \)
3. Vérification : \(\sqrt{16} + 3 = 4 + 3 = 7\), qui correspond à l’équation initiale.
4. Solution : \(x = 16\).

Remarque importante

Lorsqu’on élève au carré, il faut vérifier si la solution vérifie l’équation initiale, car cette opération peut introduire des solutions extrêmes.

Résumé

Pour résoudre une équation avec radical :

• Isoler le radical
• Élever chaque côté à la puissance du degré de la racine
• Simplifier et résoudre
• Vérifier les solutions dans l’équation d’origine