Équations de droites : Alignement, intersection, parallélisme

1. Introduction

En géométrie, une droite peut être représentée par son équation. Étudions comment deux ou plusieurs droites se comportent en termes d'alignement, d’intersection et de parallélisme.

2. Alignement de points

Trois points sont alignés s'ils appartiennent à la même droite. Pour vérifier si trois points \( A(x_A, y_A) \), \( B(x_B, y_B) \) et \( C(x_C, y_C) \) sont alignés, on peut utiliser la notion de pente.

Calculons la pente entre \( A \) et \( B \) : \[ m_{AB} = rac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad (x_B eq x_A) \]

De même, entre \( A \) et \( C \) : \[ m_{AC} = rac{y_C - y_A}{x_C - x_A} \]

Les points sont alignés si :

\( m_{AB} = m_{AC} \) ou si au moins deux points ont des abscisses identiques (verticale), dans ce cas la vérification se fait par comparaison des ordonnées.

3. Équation d'une droite

Une droite passant par un point \( A(x_A, y_A) \) avec une pente \( m \) s’écrit \[ y - y_A = m(x - x_A) \]

Par exemple, si on connaît deux points \( A \) et \( B \), on peut déterminer l’équation :

\( m = rac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \) (si \( x_B 
eq x_A \))
\( y - y_A = m(x - x_A) \)

4. Intersection de deux droites

Deux droites se coupent en un point si leur système d’équations admet une solution unique.

Considérons deux droites :

1. \( y = m_1 x + p_1 \)
2. \( y = m_2 x + p_2 \)

Pour trouver leur point d’intersection, on résout :

\( m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2 \)
\(\Rightarrow x = rac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2} \) (si \( m_1 
eq m_2 \))

Et on calcule \( y \) en le remplaçant dans l'une des équations.

5. Parallélisme de droites

Deux droites sont parallèles si leurs pentes sont égales :

\[ m_1 = m_2 \]

Par exemple, si deux droites ont l’équation :

\( y = m x + p_1 \)
\( y = m x + p_2 \)

elles sont parallèles sauf si \( p_1 = p_2 \), auquel cas elles sont confondues.

6. Résumé

• Alignement : mêmes pentes ou abscisses identiques si verticale.
• Équation d’une droite : \( y - y_A = m(x - x_A) \).
• Intersection : résoudre le système des équations de droites.
• Parallélisme : mêmes pentes.

7. Conclusion

Ces notions permettent d’étudier la position relative de plusieurs droites et points en géométrie, essentielles pour la résolution de problèmes variés.