Équations de droites : Alignement, intersection, parallélisme

1. Alignement de points

Pour vérifier si trois points \(A(x_A, y_A)\), \(B(x_B, y_B)\) et \(C(x_C, y_C)\) sont alignés, on peut utiliser le concept de vecteurs.

Les points sont alignés si le vecteur \(\vec{AB}\) est colinéaire avec \(\vec{AC}\), c'est-à-dire si le déterminant suivant est nul :

\[\begin{vmatrix} x_B - x_A & y_B - y_A \\ x_C - x_A & y_C - y_A \end{vmatrix} = 0\]

Ce qui donne la condition :

\[(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A) = 0\]

Si cette équation est vérifiée, alors les trois points sont alignés.

2. Intersection de deux droites

Les droites sont généralement exprimées sous la forme : \( y = mx + p \), où :

• \textbf{m} : la pente
• \textbf{p} : l'ordonnée à l'origine

Pour trouver leur point d'intersection, on résout le système :

\[\begin{cases} y = m_1 x + p_1 \\ y = m_2 x + p_2 \end{cases}\]

En égalant les deux expressions de \( y \), on obtient :

\[m_1 x + p_1 = m_2 x + p_2 \Rightarrow (m_1 - m_2) x = p_2 - p_1\]

Si \( m_1 \neq m_2 \), la solution est :

\[x = \frac{p_2 - p_1}{m_1 - m_2}\]

Ensuite, on calcule \( y \) en remplaçant dans une des deux équations :

\[y = m_1 x + p_1\]

Ce point est l'intersection des deux droites.

3. Parallélisme de droites

Deux droites sont parallèles si elles ont la même pente :

\[m_1 = m_2\]

Si elles ont la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes, alors elles ne se croisent jamais, donc elles sont parallèles.

Attention : si deux droites ont la même équation, elles sont confondues, elles sont alors {les mêmes}.

Résumé

• Alignement : vérification via le déterminant contracté
• Intersection : résolution du système des équations des droites
• Parallélisme : mêmes pentes différentes ordonnées à l'origine