Équations de droites : Équation cartésienne et équation réduite

Introduction

Une droite dans le plan peut être décrite par une équation mathématique. Deux formes principales sont utilisées : l'équation cartésienne et l'équation réduite.

1. Équation cartésienne

L’équation cartésienne d’une droite s’écrit sous la forme :

\( ax + by + c = 0 \)

avec \( a \), \( b \), et \( c \) des nombres réels, et au moins \( a \) ou \( b \) non nul.

Cette équation représente tous les points \((x, y)\) qui appartiennent à la droite.

2. Équation réduite

Son but est d’exprimer la droite avec sa forme la plus simple, en utilisant sa pente et un point.

Elle s’écrit :

\( y = mx + p \)

où :

• \( m \) est la pente de la droite, indiquant son inclination ;
• \( p \) est l’ordonnée à l’origine, c’est-à-dire le point où la droite coupe l’axe des ordonnées.

3. Passage de l’équation cartésienne à l’équation réduite

Pour convertir une équation cartésienne en équation réduite :

1. Isoler \( y \) si possible :

\[ by = -ax - c \]
\[ y = -rac{a}{b} x - rac{c}{b} \]

La formule devient alors \( y = mx + p \) avec :

• \( m = -rac{a}{b} \)
• \( p = -rac{c}{b} \)

Remarque : cette étape nécessite que \( b eq 0 \). Sinon, l’équation cartésienne représente une droite verticale.

4. Exemple

Soit l’équation cartésienne : \( 2x - 3y + 6 = 0 \)

Pour obtenir sa forme réduite :

1. Isoler \( y \) :

\[ -3y = -2x - 6 \]
\[ y = rac{2}{3}x + 2 \]

Donc, l’équation réduite est :

\( y = rac{2}{3}x + 2 \)

avec une pente \( m = rac{2}{3} \) et une ordonnée à l’origine \( p = 2 \).

Conclusion

Les deux formes d’équation permettent de décrire une droite en utilisant des paramètres qui donnent des informations précises sur sa position et son inclination. La forme cartésienne est utile pour établir des relations algébriques, tandis que la forme réduite est pratique pour comprendre la pente et le point d’intersection avec l’axe des ordonnées.