Équations de droites : équation cartésienne et équation réduite

Une droite du plan peut se décrire par une égalité entre \(x\) et \(y\) : l'équation cartésienne \(ax+by+c=0\) marche pour toutes les droites, l'équation réduite \(y=mx+p\) pour toutes celles qui ne sont pas verticales.

Objectifs

Savoir si un point appartient à une droite à partir de son équation.
Déterminer une équation cartésienne d'une droite à partir d'un point et d'un vecteur directeur.
Lire et utiliser un vecteur directeur à partir d'une équation cartésienne.
Passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite, et interpréter \(m\) (coefficient directeur) et \(p\) (ordonnée à l'origine).
Déterminer l'équation réduite d'une droite passant par deux points, et reconnaître des droites parallèles.

1. Une équation de droite, c'est un « code d'accès »

Dans un repère du plan, une équation de la droite \(d\) est une égalité vérifiée par les coordonnées de tous les points de \(d\), et seulement par eux.

Exemple résolu

Soit \(d : 2x-3y-7=0\). Les points \(C(-1\,;-3)\) et \(D(0\,;-2)\) appartiennent-ils à \(d\) ? Cherche d'abord.

Pour \(C\) : \(2\times(-1)-3\times(-3)-7=-2+9-7=0\). L'égalité est vraie, donc \(C\in d\).

Pour \(D\) : \(2\times 0-3\times(-2)-7=0+6-7=-1\). Or \(-1\neq 0\), donc \(D\notin d\).

Quel point appartient à la droite d'équation \(x+2y-5=0\) ?

\(A(2\,;2)\)
\(B(1\,;2)\)
\(C(0\,;3)\)

\(1+2\times 2-5=0\) : seul \(B\) vérifie l'équation. Pour \(A\) on obtient \(1\), pour \(C\) on obtient \(1\).

2. Vecteur directeur et équation cartésienne

Un vecteur directeur de la droite \(d\) est un vecteur non nul \(\vec u\) dont la direction est celle de \(d\). Si \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(d\), alors \(\overrightarrow{AB}\) est un vecteur directeur de \(d\).

Un point \(M\) appartient à la droite passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\) si et seulement si \(\overrightarrow{AM}\) et \(\vec u\) sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul :

\[\det\left(\overrightarrow{AM},\vec u\right)=0.\]

Rappel : pour \(\vec v\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\) et \(\vec w\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}\), \(\det(\vec v,\vec w)=xy'-yx'\).

Exemple résolu

Déterminer une équation cartésienne de la droite \(d\) passant par \(A(2\,;-1)\) et de vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\). Cherche d'abord, puis dévoile.

Soit \(M(x\,;y)\). On calcule \(\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}x-2\\y+1\end{pmatrix}\).

\(M\in d \iff \det\left(\overrightarrow{AM},\vec u\right)=0 \iff (x-2)\times 2-(y+1)\times 3=0\).

On développe : \(2x-4-3y-3=0\), soit \(2x-3y-7=0\).

Vérification : \(A\) donne \(2\times 2-3\times(-1)-7=4+3-7=0\). Et le vecteur directeur lu sur l'équation est \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}\) : c'est bien \(\vec u\).

Quel est un vecteur directeur de la droite d'équation \(3x+y-2=0\) ?

\(\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\)
\(\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\)

Ici \(a=3\) et \(b=1\), donc \(\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}\).

3. L'équation réduite \(y=mx+p\)

Fais bouger les curseurs \(m\) et \(p\) et observe : \(p\) fait glisser la droite vers le haut ou le bas, \(m\) la fait tourner.

Tracer une droite à partir de son équation réduite

Exemple : tracer \(d : y=2x-1\).

On place le point d'ordonnée à l'origine \(p=-1\) : la droite passe par \((0\,;-1)\).

Depuis ce point, on avance de \(1\) vers la droite et on monte de \(m=2\) : on obtient le point \((1\,;1)\).

On trace la droite qui passe par ces deux points.

Quel est le coefficient directeur de la droite \(y=-3x+4\) ?

\(4\)
\(3\)
\(-3\)

Dans \(y=mx+p\), \(m\) est le nombre devant \(x\), avec son signe : \(m=-3\). La droite descend.

4. Passer d'une forme à l'autre

De la forme cartésienne à la forme réduite

Si \(b\neq 0\), on isole \(y\) dans \(ax+by+c=0\) :

\[by=-ax-c \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}.\]

Donc \(m=-\dfrac{a}{b}\) et \(p=-\dfrac{c}{b}\). Si \(b=0\), la droite est verticale : \(x=-\dfrac{c}{a}\).

Exemple : transformer \(2x-3y-7=0\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\begin{align} 2x-3y-7&=0\\ -3y&=-2x+7\\ y&=\frac{2}{3}x-\frac{7}{3} \end{align}

Le coefficient directeur est \(m=\dfrac{2}{3}\) et l'ordonnée à l'origine \(p=-\dfrac{7}{3}\).

De la forme réduite à la forme cartésienne

On passe tout du même côté : \(y=mx+p \iff mx-y+p=0\). Par exemple \(y=2x+1\iff 2x-y+1=0\).

Équation réduite à partir de deux points

Exemple : déterminer l'équation réduite de \((AB)\) avec \(A(1\,;3)\) et \(B(4\,;9)\).

\(x_A\neq x_B\), donc la droite n'est pas verticale. \(m=\dfrac{9-3}{4-1}=\dfrac{6}{3}=2\).

\(A\) est sur la droite : \(3=2\times 1+p\), donc \(p=1\).

Conclusion : \((AB) : y=2x+1\).

Vérification avec \(B\) : \(2\times 4+1=9\). Correct.

Quelle est l'équation réduite de la droite \(x-2y+4=0\) ?

\(y=\frac{1}{2}x+2\)
\(y=2x+4\)
\(y=-\frac{1}{2}x+2\)

\(-2y=-x-4\), donc \(y=\frac{1}{2}x+2\).

5. Droites parallèles

Exemple : \(d : y=2x+1\) et \(d' : 4x-2y+5=0\) sont-elles parallèles ?

Voir la solution

On met \(d'\) sous forme réduite : \(-2y=-4x-5\), donc \(y=2x+\dfrac{5}{2}\). Les deux coefficients directeurs valent \(2\) : les droites sont parallèles. Comme \(1\neq\dfrac{5}{2}\), elles sont distinctes (strictement parallèles).

Quelle droite est parallèle à \(y=-x+3\) ?

\(y=x+3\)
\(x+y-7=0\)
\(x=3\)

\(x+y-7=0\) donne \(y=-x+7\) : même coefficient directeur \(-1\), donc parallèle.

Récapitulatif

Un point est sur une droite si ses coordonnées vérifient l'équation.
Toute droite a une équation cartésienne \(ax+by+c=0\) ; un vecteur directeur est \(\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\).
On l'obtient avec \(\det\left(\overrightarrow{AM},\vec u\right)=0\).
Une droite non verticale a une unique équation réduite \(y=mx+p\) ; une droite verticale a une équation \(x=k\).
\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\) et \(p=y_A-m\,x_A\).
Parallèles \(\iff\) vecteurs directeurs colinéaires \(\iff\) même coefficient directeur (droites non verticales).

Équation cartésienne

\(ax+by+c=0\), avec \(a\) et \(b\) non tous deux nuls ; pas unique.

Vecteur directeur de \(ax+by+c=0\)

\(\vec u\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}\)

Équation réduite

\(y=mx+p\) : \(m\) coefficient directeur, \(p\) ordonnée à l'origine. Unique.

Droite verticale

Équation \(x=k\), pas d'équation réduite.

Coefficient directeur par deux points

\(m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)

Droites parallèles

Même coefficient directeur, ou vecteurs directeurs colinéaires.