Équations de droites : Équations cartésienne et réduite

1. Introduction

Une droite dans le plan est généralement représentée par une équation. Deux formes principales existent : l'équation cartésienne et l'équation réduite.

2. Équation cartésienne

L'équation cartésienne d'une droite est exprimée sous la forme :

ax + by + c = 0

avec \(a\), \(b\), \(c\) des nombres réels, et au moins l'une des deux premières coefficients est différente de zéro.

3. Équation réduite de la droite

Lorsque \(b eq 0\), on peut exprimer \(y\) en fonction de \(x\) :

y = mx + p

où :

• \(m\) est le coefficient directeur, appelé la pente de la droite
• \(p\) est l'ordonnée à l'origine, c’est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (\(y\)-axis)

4. Conversion entre équations

Pour passer d'une équation cartésienne à l'équation réduite :

1. Isoler \(y\) si possible :
2. Exprimer \(y\) en fonction de \(x\) : \( y = -rac{a}{b}x - rac{c}{b} \)

Le coefficient directeur est donc \( m = -rac{a}{b} \), et l'ordonnée à l'origine est \( p = -rac{c}{b} \).

5. Exemple

Considérons l'équation cartésienne :

3x - 2y + 6 = 0

Pour obtenir la forme réduite :

y = rac{3}{2}x + 3

Donc, \( m = rac{3}{2} \) et \( p = 3 \).

6. Résumé

• L'équation cartésienne standard est \(ax + by + c = 0\).
• La forme réduite est \( y = mx + p \), où \( m \) est la pente et \( p \) l'ordonnée à l'origine.
• Ces deux formes permettent de caractériser une droite dans le plan.