Équations différentielles du premier ordre : circuits RC et RL

Quand on ferme l'interrupteur d'un circuit avec un condensateur ou une bobine, la tension et l'intensité ne changent pas d'un coup : elles suivent une équation différentielle du premier ordre dont la solution est une exponentielle, réglée par une seule durée, la constante de temps \(\tau\).

Objectifs

Établir l'équation différentielle vérifiée par \(u_C(t)\) dans un circuit RC (charge et décharge).
Établir l'équation différentielle vérifiée par \(i(t)\) dans un circuit RL.
Résoudre une équation du type \(\tau \dfrac{dy}{dt} + y = A\) et utiliser la condition initiale.
Définir, calculer et mesurer graphiquement la constante de temps \(\tau = RC\) ou \(\tau = \dfrac{L}{R}\).
Calculer l'énergie stockée dans un condensateur ou une bobine.

1. Pourquoi une équation différentielle ?

Notions clés

Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction \(y(t)\) et qui relie cette fonction à sa dérivée \(\dfrac{dy}{dt}\). Elle est du premier ordre quand seule la dérivée première apparaît.

En Terminale, toutes celles du chapitre s'écrivent sous la forme :

\[\tau \frac{dy}{dt} + y = A\]

où \(\tau\) (en secondes) et \(A\) sont des constantes positives.

La solution générale à connaître

Les solutions de \(\tau \dfrac{dy}{dt} + y = A\) sont les fonctions :

\[y(t) = A + B\,e^{-t/\tau}\]

\(B\) est une constante fixée par la condition initiale (la valeur de \(y\) à \(t = 0\)) :

\[y(0) = A + B \quad\Longrightarrow\quad B = y(0) - A\]

\(A\) est la valeur finale (régime permanent), atteinte quand \(t\) devient grand car \(e^{-t/\tau} \to 0\).
\(\tau\) fixe la rapidité du régime transitoire.

Quelle est la valeur finale de \(y\) solution de \(0{,}5\,\dfrac{dy}{dt} + y = 8\) ?

Quand le régime permanent est atteint, \(y\) ne varie plus : \(\dfrac{dy}{dt} = 0\), donc \(y = A = 8\). Ici \(\tau = 0{,}5\) s.

2. Le circuit RC : charge d'un condensateur

Le montage

Établir l'équation différentielle

À \(t = 0\), on ferme K ; le condensateur est initialement déchargé : \(u_C(0) = 0\).

Loi des mailles : \(u_R + u_C = E\).

Loi d'Ohm : \(u_R = R\,i\).

Pour le condensateur : \(q = C\,u_C\) et \(i = \dfrac{dq}{dt} = C\,\dfrac{du_C}{dt}\).

On remplace : \(RC\,\dfrac{du_C}{dt} + u_C = E\). C'est la forme \(\tau \dfrac{dy}{dt} + y = A\) avec \(\tau = RC\) et \(A = E\).

Solution : \(u_C(t) = E + B\,e^{-t/\tau}\). Avec \(u_C(0) = 0\) : \(B = -E\), donc \(u_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\).

Vérification : \(\dfrac{du_C}{dt} = \dfrac{E}{\tau}e^{-t/\tau}\), donc \(RC \cdot \dfrac{E}{RC}e^{-t/\tau} + E - E\,e^{-t/\tau} = E\). L'équation est bien vérifiée.

L'intensité vaut \(i(t) = C\,\dfrac{du_C}{dt} = \dfrac{E}{R}\,e^{-t/\tau}\) : elle est maximale à la fermeture, puis tend vers 0.

Manipule la courbe de charge

Le curseur U règle la tension \(E\) du générateur, le curseur T règle \(\tau\) (en secondes). Observe : changer \(\tau\) ne change pas la valeur finale, seulement la vitesse pour l'atteindre.

Mesurer \(\tau\) sur une courbe

Méthode des 63 % : on lit l'abscisse du point où \(u_C = 0{,}63\,E\).
Méthode de la tangente à l'origine : la tangente à la courbe en \(t = 0\) coupe l'asymptote \(u_C = E\) à l'abscisse \(t = \tau\).

La décharge

Le condensateur chargé sous \(E\) se décharge dans la résistance (le générateur est retiré du circuit). La loi des mailles donne \(u_R + u_C = 0\), donc :

\[RC\,\frac{du_C}{dt} + u_C = 0 \quad\Longrightarrow\quad u_C(t) = E\,e^{-t/\tau}\]

À \(t = \tau\), il reste environ 37 % de la tension initiale.

Énergie stockée dans le condensateur

\[\mathcal{E}_C = \frac{1}{2}\,C\,u_C^2\]

Exemple résolu 1

Un condensateur de capacité \(C = 100\ \mu\mathrm{F}\), déchargé, est chargé à travers \(R = 10\ \mathrm{k}\Omega\) par un générateur \(E = 12\ \mathrm{V}\). Calcule \(\tau\), \(u_C\) à \(t = 1\ \mathrm{s}\), la date où \(u_C = 6\ \mathrm{V}\) et l'énergie stockée en fin de charge.

Voir la solution

\begin{align} \tau &= RC = 10 \times 10^{3} \times 100 \times 10^{-6} = 1\ \mathrm{s}\\ u_C(1\ \mathrm{s}) &= 12\left(1 - e^{-1}\right) \approx 12 \times 0{,}632 \approx 7{,}6\ \mathrm{V}\\ 6 = 12\left(1 - e^{-t/\tau}\right) &\Longrightarrow e^{-t/\tau} = 0{,}5 \Longrightarrow t = \tau \ln 2 \approx 0{,}69\ \mathrm{s}\\ \mathcal{E}_C &= \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times 12^2 = 7{,}2 \times 10^{-3}\ \mathrm{J} \end{align}

L'intensité au moment de la fermeture vaut \(i(0) = \dfrac{E}{R} = \dfrac{12}{10\,000} = 1{,}2\ \mathrm{mA}\).

On double la résistance R d'un circuit RC. Que devient la charge du condensateur ?

Elle est deux fois plus rapide et la tension finale double.
Elle est deux fois plus lente mais la tension finale reste E.
Elle ne change pas.

\(\tau = RC\) double, donc la charge est deux fois plus lente. La valeur finale reste \(E\) car elle ne dépend pas de \(R\).

3. Le circuit RL : établissement du courant dans une bobine

Établir l'équation différentielle

Une bobine d'inductance \(L\) (en henry, H) et de résistance \(r\) est placée en série avec un conducteur ohmique. On note \(R\) la résistance totale du circuit. À \(t = 0\), on ferme l'interrupteur : \(i(0) = 0\).

Tension aux bornes de la bobine : \(u_L = L\,\dfrac{di}{dt} + r\,i\).

Loi des mailles avec la résistance totale \(R\) : \(L\,\dfrac{di}{dt} + R\,i = E\).

On divise par \(R\) : \(\dfrac{L}{R}\,\dfrac{di}{dt} + i = \dfrac{E}{R}\). Forme connue avec \(\tau = \dfrac{L}{R}\) et \(A = \dfrac{E}{R}\).

Avec \(i(0) = 0\) : \(i(t) = \dfrac{E}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)\). Le courant tend vers \(I = \dfrac{E}{R}\).

Énergie stockée dans la bobine

\[\mathcal{E}_L = \frac{1}{2}\,L\,i^2\]

Quand on ouvre brusquement le circuit, cette énergie doit être libérée : elle peut créer une étincelle aux bornes de l'interrupteur. C'est pour cela qu'on protège les bobines (relais, moteurs) par une diode.

Exemple résolu 2

Une bobine d'inductance \(L = 0{,}5\ \mathrm{H}\) est branchée sur un générateur \(E = 6\ \mathrm{V}\). La résistance totale du circuit est \(R = 100\ \Omega\). Calcule \(\tau\), l'intensité finale \(I\), \(i\) à \(t = 5\ \mathrm{ms}\) et l'énergie stockée en régime permanent.

Voir la solution

\begin{align} \tau &= \frac{L}{R} = \frac{0{,}5}{100} = 5 \times 10^{-3}\ \mathrm{s} = 5\ \mathrm{ms}\\ I &= \frac{E}{R} = \frac{6}{100} = 0{,}06\ \mathrm{A} = 60\ \mathrm{mA}\\ i(5\ \mathrm{ms}) &= I\left(1 - e^{-1}\right) \approx 0{,}06 \times 0{,}632 \approx 38\ \mathrm{mA}\\ \mathcal{E}_L &= \frac{1}{2} \times 0{,}5 \times 0{,}06^2 = 9 \times 10^{-4}\ \mathrm{J} \end{align}

Dans un circuit RL, juste après la fermeture de l'interrupteur (\(t = 0\)), l'intensité vaut :

0, car l'intensité dans la bobine est continue.
\(\dfrac{E}{R}\), sa valeur maximale.
Une valeur infinie pendant un instant.

L'intensité était nulle avant la fermeture ; une bobine empêche les sauts d'intensité, donc \(i(0) = 0\). Elle n'atteint \(\dfrac{E}{R}\) qu'en régime permanent.

4. Méthode générale et comparaison RC / RL

flowchart LR
  A[Loi des mailles] --> B[Relations de chaque dipôle]
  B --> C[Forme standard avec tau]
  C --> D[Solution exponentielle]
  D --> E[Condition initiale donne B]
  E --> F[Lire tau et la valeur finale]

	Circuit RC	Circuit RL
Grandeur continue	tension \(u_C\)	intensité \(i\)
Équation (établissement)	\(RC\,\dfrac{du_C}{dt} + u_C = E\)	\(\dfrac{L}{R}\,\dfrac{di}{dt} + i = \dfrac{E}{R}\)
Constante de temps	\(\tau = RC\)	\(\tau = \dfrac{L}{R}\)
Énergie stockée	\(\dfrac{1}{2}C\,u_C^2\)	\(\dfrac{1}{2}L\,i^2\)

Erreurs fréquentes

Oublier la condition initiale : la constante \(B\) n'est pas toujours \(-A\) (en décharge, \(A = 0\) et \(B = E\)).
Confondre « 63 % de la valeur finale » (établissement) et « 37 % de la valeur initiale » (décharge ou rupture).
Croire que la tension finale d'un condensateur dépend de \(R\) : seule la durée en dépend.
Oublier la résistance interne \(r\) de la bobine dans la résistance totale \(R\).

Un condensateur chargé sous 10 V se décharge avec \(\tau = 2\ \mathrm{s}\). Quelle est environ sa tension à \(t = 2\ \mathrm{s}\) ?

6,3 V
5 V
3,7 V
0 V

En décharge, \(u_C = 10\,e^{-t/\tau}\) ; à \(t = \tau\), \(u_C = 10\,e^{-1} \approx 3{,}7\ \mathrm{V}\), soit 37 % de la tension initiale.

Récapitulatif

Loi des mailles + relation du dipôle donnent \(\tau \dfrac{dy}{dt} + y = A\).
Solution : \(y(t) = A + B\,e^{-t/\tau}\), \(B\) fixé par la condition initiale.
RC : \(\tau = RC\), \(u_C\) continue ; RL : \(\tau = \dfrac{L}{R}\), \(i\) continue.
À \(t = \tau\) : 63 % du chemin parcouru ; à \(5\tau\) : régime permanent.
Énergies : \(\dfrac{1}{2}C\,u_C^2\) et \(\dfrac{1}{2}L\,i^2\).

Forme de l'équation différentielle

\(\tau \dfrac{dy}{dt} + y = A\), solution \(y = A + B\,e^{-t/\tau}\)

Constante de temps RC

\(\tau = RC\), en secondes ; 63 % de E atteints à \(t = \tau\)

Constante de temps RL

\(\tau = \dfrac{L}{R}\), en secondes

Grandeurs continues

Tension aux bornes d'un condensateur ; intensité dans une bobine

Énergies stockées

\(\dfrac{1}{2}C\,u_C^2\) pour un condensateur, \(\dfrac{1}{2}L\,i^2\) pour une bobine