Équations du premier degré pas à pas : l'escalier de la résolution

On monte marche par marche : d'abord les équations à une seule opération, puis celles avec l'inconnue des deux côtés, des parenthèses et des fractions ; à chaque marche on simplifie, on isole \(x\) et on vérifie.

Objectifs

Utiliser le vocabulaire : inconnue, membre, solution, équations équivalentes.
Résoudre des équations de plus en plus complexes, une difficulté nouvelle à chaque marche.
Simplifier une équation (développer, réduire, supprimer les dénominateurs) avant de la résoudre.
Reconnaître les équations sans solution ou avec une infinité de solutions.
Vérifier systématiquement une solution et rédiger la conclusion d'un problème.

flowchart LR
  M1[Marche 1 ajouter ou retirer] --> M2[Marche 2 multiplier ou diviser]
  M2 --> M3[Marche 3 deux operations]
  M3 --> M4[Marche 4 x des deux cotes]
  M4 --> M5[Marche 5 parentheses]
  M5 --> M6[Marche 6 fractions]
  M6 --> M7[Marche 7 cas particuliers]

0. Le palier de départ : le vocabulaire

Une équation est une égalité qui contient une lettre inconnue, ici \(x\).
Ce qui est à gauche du signe \(=\) est le premier membre, ce qui est à droite le second membre.
Une solution est une valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie. Résoudre, c'est trouver toutes les solutions ; on les note dans un ensemble \(S\).
Une équation est du premier degré si elle peut s'écrire \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\) : \(x\) n'apparaît ni au carré, ni au dénominateur.

Le nombre \(4\) est-il solution de \(3x - 5 = x + 3\) ?

Non, car \(3 \times 4 - 5 = 7\) et \(7 \neq 4\)
Non, car le premier membre vaut \(12\)
Oui, car les deux membres valent \(7\)

Premier membre : \(3 \times 4 - 5 = 7\). Second membre : \(4 + 3 = 7\). Les deux membres sont égaux, donc \(4\) est solution.

1. Marches 1 et 2 : une seule opération

Marche 1 : \(x + a = b\) ou \(x - a = b\)

On ajoute ou on retire \(a\) aux deux membres.

\(x + 150 = 650\) : on retire \(150\) des deux côtés.

\(x + 150 - 150 = 650 - 150\), donc \(x = 500\).

Vérification : \(500 + 150 = 650\). Le cahier coûte 500 F CFA et \(S = \{500\}\).

Marche 2 : \(ax = b\) ou \(\dfrac{x}{a} = b\)

On divise (ou on multiplie) les deux membres par \(a\), qui doit être non nul.

Résoudre a) \(4x = 1\,000\) ; b) \(\dfrac{x}{3} = 7\) ; c) \(-5x = 12\). Cherche d'abord.

Voir la solution

a) On divise par 4 : \(x = \dfrac{1\,000}{4} = 250\). Vérification : \(4 \times 250 = 1\,000\).

b) On multiplie par 3 : \(x = 21\). Vérification : \(\dfrac{21}{3} = 7\).

c) On divise par \(-5\) : \(x = -\dfrac{12}{5} = -2{,}4\). Vérification : \(-5 \times (-2{,}4) = 12\).

Quelle est la solution de \(-3x = 18\) ?

\(-6\)
\(6\)
\(21\)

On divise les deux membres par \(-3\) : \(x = \frac{18}{-3} = -6\). Vérification : \(-3 \times (-6) = 18\).

2. Marche 3 : deux opérations, \(ax + b = c\)

Exemple résolu 1

Résoudre \(100x + 200 = 900\).

On retire 200 aux deux membres : \(100x = 700\).

On divise par 100 : \(x = 7\).

Vérification : \(100 \times 7 + 200 = 900\). Moussa a parcouru 7 km.

Exemple résolu 2

Résoudre \(7 - 2x = 15\). Cherche d'abord.

On retire 7 aux deux membres : \(-2x = 8\).

On divise par \(-2\) : \(x = -4\).

Vérification : \(7 - 2 \times (-4) = 7 + 8 = 15\). Donc \(S = \{-4\}\).

Quelle est la première opération pour résoudre \(5x - 3 = 22\) ?

Diviser par 5
Ajouter 3 aux deux membres
Retirer 3 aux deux membres

On défait d'abord le \(-3\) en ajoutant 3 : \(5x = 25\), puis on divise par 5 : \(x = 5\).

3. Marche 4 : l'inconnue des deux côtés

Exemple résolu 3 : les forfaits

On retire \(20x\) aux deux membres : \(1\,500 + 30x = 3\,000\).

On retire 1 500 : \(30x = 1\,500\).

On divise par 30 : \(x = 50\).

Vérification : \(1\,500 + 50 \times 50 = 4\,000\) et \(3\,000 + 20 \times 50 = 4\,000\). Pour 50 minutes, les deux forfaits coûtent 4 000 F CFA.

Sur le graphique, chaque forfait est une droite ; la solution est l'abscisse du point où elles se croisent. Fais varier le prix à la minute \(a\) du forfait A : le point de rencontre se déplace.

Quelle est la solution de \(8x - 5 = 3x + 20\) ?

\(3\)
\(\frac{15}{11}\)
\(5\)

\(8x - 3x = 20 + 5\), donc \(5x = 25\) et \(x = 5\). Vérification : \(40 - 5 = 35\) et \(15 + 20 = 35\).

4. Marche 5 : des parenthèses à développer

Exemple résolu 4

Résoudre \(3(2x - 5) - (x - 4) = 2(x + 7)\).

On développe : \(6x - 15 - x + 4 = 2x + 14\).

On réduit le premier membre : \(5x - 11 = 2x + 14\).

On regroupe : \(5x - 2x = 14 + 11\), donc \(3x = 25\).

On isole : \(x = \dfrac{25}{3}\). On garde la fraction exacte, sans arrondir.

Vérification : \(3\left(\frac{50}{3} - 5\right) - \left(\frac{25}{3} - 4\right) = 35 - \frac{13}{3} = \frac{92}{3}\) et \(2\left(\frac{25}{3} + 7\right) = \frac{92}{3}\). Donc \(S = \left\{\frac{25}{3}\right\}\).

Que donne le développement de \(-2(3x - 4)\) ?

\(-6x + 8\)
\(-6x - 8\)
\(-6x - 4\)

\(-2 \times 3x = -6x\) et \(-2 \times (-4) = +8\). Le facteur multiplie chaque terme, avec son signe.

5. Marche 6 : des fractions à supprimer

Exemple résolu 5 : les oranges

Les dénominateurs sont 2 et 3 : on multiplie tout par 6.

\(6 \times \dfrac{x}{2} + 6 \times \dfrac{x}{3} = 6 \times 10\), donc \(3x + 2x = 60\).

\(5x = 60\), donc \(x = 12\).

Vérification : \(\frac{12}{2} + \frac{12}{3} = 6 + 4 = 10\). Nadia avait 12 oranges.

Exemple résolu 6

Résoudre \(\dfrac{x - 1}{4} - \dfrac{2x + 1}{6} = \dfrac{1}{3}\). Cherche d'abord.

Multiple commun de 4, 6 et 3 : 12. On multiplie chaque terme par 12 : \(3(x - 1) - 2(2x + 1) = 4\).

On développe : \(3x - 3 - 4x - 2 = 4\), soit \(-x - 5 = 4\).

\(-x = 9\), donc \(x = -9\).

Vérification : \(\frac{-10}{4} - \frac{-17}{6} = -\frac{15}{6} + \frac{17}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). Donc \(S = \{-9\}\).

Par quel nombre multiplier pour supprimer les dénominateurs de \(\dfrac{x}{4} + \dfrac{x}{6} = 5\) ?

24, obligatoirement
12, le plus petit multiple commun
10, la somme de 4 et 6

12 est le plus petit multiple commun de 4 et 6 : \(3x + 2x = 60\), donc \(x = 12\). 24 marche aussi, mais donne des nombres plus grands.

6. Marche 7 : les cas particuliers et l'équation-produit

\(2(x + 3) = 2x + 5\) devient \(2x + 6 = 2x + 5\), puis \(6 = 5\) : c'est faux quel que soit \(x\). Aucune solution : \(S = \varnothing\).
\(2(x + 3) = 2x + 6\) devient \(6 = 6\) : c'est vrai pour tout \(x\). Tous les réels sont solutions : \(S = \mathbb{R}\).

Équation-produit : se ramener au premier degré

Résoudre \((x - 2)(3x + 1) = 0\). Cherche d'abord.

Voir la solution

\(x - 2 = 0\) ou \(3x + 1 = 0\), donc \(x = 2\) ou \(x = -\dfrac{1}{3}\). On résout deux équations du premier degré au lieu d'une. \(S = \left\{-\frac{1}{3}\,;\,2\right\}\).

Combien de solutions a l'équation \(4x - 3 = 2(2x - 1)\) ?

Une seule
Une infinité
Aucune

\(2(2x - 1) = 4x - 2\), donc \(4x - 3 = 4x - 2\) donne \(-3 = -2\), ce qui est faux : aucune solution.

7. Le sommet de l'escalier : résoudre un problème

Soit \(x\) l'âge actuel du frère. Kouni a \(3x\) ans.

Dans 5 ans : le frère aura \(x + 5\) ans et Kouni \(3x + 5\) ans. L'énoncé donne \(3x + 5 = 2(x + 5)\).

\(3x + 5 = 2x + 10\), donc \(x = 5\).

Vérification : le frère a 5 ans et Kouni 15 ans ; dans 5 ans, ils auront 10 et 20 ans, et 20 est bien le double de 10. Kouni a 15 ans, son frère 5 ans.

À toi : le terrain de Fatou

Le terrain rectangulaire de Fatou est 8 m plus long que large, et son périmètre mesure 76 m. Trouve ses dimensions.

Voir la solution

Soit \(x\) la largeur en mètres ; la longueur est \(x + 8\). Le périmètre donne \(2(x + x + 8) = 76\), soit \(4x + 16 = 76\), donc \(4x = 60\) et \(x = 15\).

Vérification : largeur 15 m, longueur 23 m, périmètre \(2(15 + 23) = 76\). Le terrain mesure 23 m sur 15 m.

Trois cahiers et un livre de 1 200 F CFA coûtent 2 700 F CFA. Quelle équation traduit la situation, avec \(x\) le prix d'un cahier ?

\(3(x + 1\,200) = 2\,700\)
\(3x + 1\,200 = 2\,700\)
\(x + 3 \times 1\,200 = 2\,700\)

Trois cahiers coûtent \(3x\), plus le livre : \(3x + 1\,200 = 2\,700\), d'où \(x = 500\) F CFA.

8. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

On ne change pas les solutions en ajoutant le même nombre aux deux membres, ou en les multipliant par le même nombre non nul.
Méthode : supprimer les dénominateurs, développer, réduire, regrouper les \(x\) d'un côté, isoler \(x\), vérifier.
Si les \(x\) disparaissent : égalité fausse, \(S = \varnothing\) ; égalité toujours vraie, \(S = \mathbb{R}\).
Un produit nul se ramène à plusieurs équations du premier degré.
Dans un problème : inconnue, équation, résolution, vérification et phrase de conclusion.

Équations équivalentes

Deux équations qui ont exactement les mêmes solutions.

Les deux règles d'or

Même nombre ajouté aux deux membres ; deux membres multipliés par le même nombre non nul.

Ordre de résolution

Dénominateurs, parenthèses, regroupement, isolement de \(x\), vérification.

\(6 = 5\) après simplification

Aucune solution : \(S = \varnothing\).

\(6 = 6\) après simplification

Tout réel est solution : \(S = \mathbb{R}\).

Produit nul

\(A \times B = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\).