Équations du premier degré : résoudre comme on équilibre une balance

Une équation du premier degré se résout en gardant la balance équilibrée : on fait la même opération des deux côtés jusqu'à isoler \(x\), puis on vérifie la solution trouvée.

Objectifs

Reconnaître une équation du premier degré à une inconnue.
Résoudre une équation avec parenthèses ou avec fractions en simplifiant étape par étape.
Repérer les cas particuliers : aucune solution ou une infinité de solutions.
Mettre un problème de la vie courante en équation et vérifier la réponse.

1. Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

Si \(x\) désigne la masse d'un sachet en kg, la situation s'écrit \(3x + 2 = 11\).

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation qui peut s'écrire sous la forme

\[ ax + b = 0 \qquad \text{avec } a \text{ et } b \text{ réels, } a \neq 0. \]

L'inconnue \(x\) n'apparaît qu'à la puissance 1 : pas de \(x^2\), pas de \(x\) au dénominateur. Elle a alors une seule solution :

\[ ax + b = 0 \iff x = -\frac{b}{a} \]

Exemple résolu 1 : le sachet de sucre

Résoudre \(3x + 2 = 11\).

Voir la solution

Étape 1 : on retire 2 kg de chaque plateau : \(3x = 9\).

Étape 2 : on partage chaque plateau en 3 : \(x = 3\).

Étape 3 : vérification : \(3 \times 3 + 2 = 11\). Un sachet pèse 3 kg et \(S = \{3\}\).

Laquelle de ces équations est du premier degré ?

\(x^2 + 1 = 5\)
\(7x - 3 = 2x + 9\)
\(\dfrac{1}{x} = 4\)

En regroupant, \(7x - 3 = 2x + 9\) devient \(5x - 12 = 0\), de la forme \(ax + b = 0\) avec \(a = 5\). Les autres contiennent \(x^2\) ou \(x\) au dénominateur.

2. La méthode en quatre temps

1. Simplifier : développer les parenthèses, supprimer les fractions en multipliant par un dénominateur commun.

2. Regrouper : les termes en \(x\) d'un côté, les nombres de l'autre.

3. Isoler : diviser par le coefficient de \(x\).

4. Vérifier : remplacer \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.

Exemple résolu 2 : avec des parenthèses

Résoudre \(4(x - 3) - 2(x + 1) = 6\).

Voir la solution

Étape 1 : on développe : \(4x - 12 - 2x - 2 = 6\). Attention, \(-2 \times (+1) = -2\).

Étape 2 : on réduit : \(2x - 14 = 6\), puis on ajoute 14 : \(2x = 20\).

Étape 3 : on divise par 2 : \(x = 10\).

Étape 4 : vérification : \(4(10 - 3) - 2(10 + 1) = 28 - 22 = 6\). Donc \(S = \{10\}\).

Exemple résolu 3 : avec des fractions

Résoudre \(\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 4}{2}\).

Voir la solution

Étape 1 : dénominateur commun 6. On multiplie les deux membres par 6 : \(2(2x - 1) = 3(x + 4)\).

Étape 2 : on développe : \(4x - 2 = 3x + 12\).

Étape 3 : on regroupe : \(4x - 3x = 12 + 2\), donc \(x = 14\).

Étape 4 : vérification : \(\dfrac{2 \times 14 - 1}{3} = \dfrac{27}{3} = 9\) et \(\dfrac{14 + 4}{2} = 9\). Donc \(S = \{14\}\).

Quelle est la solution de \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10\) ?

\(x = 12\)
\(x = 2\)
\(x = 6\)

En multipliant par 6 : \(3x + 2x = 60\), soit \(5x = 60\) et \(x = 12\). Vérification : \(6 + 4 = 10\).

3. Les cas particuliers : zéro solution ou une infinité

Quand les termes en \(x\) disparaissent, on obtient \(0 \times x = c\) :

si \(c \neq 0\), l'égalité est toujours fausse : aucune solution, \(S = \varnothing\) ;
si \(c = 0\), l'égalité est toujours vraie : tous les réels sont solutions, \(S = \mathbb{R}\).

Exemple résolu 4

Résoudre a) \(2(x + 3) = 2x + 5\) ; b) \(3(x - 1) + x = 4x - 3\).

Voir la solution

a) On développe : \(2x + 6 = 2x + 5\). On retire \(2x\) : \(6 = 5\), ce qui est faux. Donc \(S = \varnothing\).

b) On développe : \(3x - 3 + x = 4x - 3\), soit \(4x - 3 = 4x - 3\). On retire \(4x\) : \(-3 = -3\), toujours vrai. Donc \(S = \mathbb{R}\).

Combien de solutions a l'équation \(5x - 1 = 5(x + 2)\) ?

Une seule
Une infinité
Aucune

En développant : \(5x - 1 = 5x + 10\), puis \(-1 = 10\), ce qui est faux. L'équation n'a aucune solution.

4. Mettre un problème en équation

1. Choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente (avec son unité).

2. Traduire l'énoncé par une équation.

3. Résoudre l'équation.

4. Vérifier avec l'énoncé et répondre par une phrase.

Exemple résolu 5 : la course en zémidjan

À Cotonou, un conducteur de moto-taxi demande 200 F CFA au départ, puis 100 F CFA par kilomètre. Seydou a payé 1 100 F CFA. Quelle distance a-t-il parcourue ?

Voir la solution

Étape 1 : soit \(x\) la distance en km.

Étape 2 : prix payé : \(200 + 100x = 1100\).

Étape 3 : \(100x = 900\), donc \(x = 9\).

Étape 4 : vérification : \(200 + 100 \times 9 = 1100\). Seydou a parcouru 9 km.

Exemple résolu 6 : le partage entre frères

Trois frères se partagent 15 000 F CFA. Le deuxième reçoit 1 000 F CFA de plus que le premier, et le troisième reçoit le double du premier. Combien reçoit chacun ?

Voir la solution

Étape 1 : soit \(x\) la part du premier, en F CFA. Le deuxième reçoit \(x + 1000\), le troisième \(2x\).

Étape 2 : \(x + (x + 1000) + 2x = 15000\), soit \(4x + 1000 = 15000\).

Étape 3 : \(4x = 14000\), donc \(x = 3500\).

Étape 4 : parts : 3 500 F, 4 500 F et 7 000 F CFA. Vérification : \(3500 + 4500 + 7000 = 15000\).

Awa a 2 500 F CFA. Elle achète 3 cahiers au même prix et il lui reste 400 F CFA. Quelle équation traduit la situation, si \(x\) est le prix d'un cahier ?

\(3x + 2500 = 400\)
\(2500 - 3x = 400\)
\(3(x - 400) = 2500\)

Ce qu'elle avait moins ce qu'elle a dépensé donne ce qui reste : \(2500 - 3x = 400\), d'où \(3x = 2100\) et \(x = 700\) F CFA.

5. Voir la solution sur un graphique

La solution de \(ax + b = 0\) est l'abscisse du point où la droite \(y = ax + b\) coupe l'axe des abscisses. Avec \(a = 3\) et \(b = -9\) (c'est l'équation \(3x - 9 = 0\), équivalente au sachet de sucre), la droite coupe l'axe en \(x = 3\). Bouge les curseurs et observe le point \(x = -\frac{b}{a}\).

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Forme réduite : \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\), solution unique \(x = -\frac{b}{a}\).
Méthode : simplifier, regrouper, isoler, vérifier.
Si \(x\) disparaît : égalité fausse, \(S = \varnothing\) ; égalité vraie, \(S = \mathbb{R}\).
Problème : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, vérifier et répondre par une phrase.

Cartes mémo

Équation du premier degré

Équation qui se ramène à \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\).

Solution de \(ax + b = 0\)

\(x = -\frac{b}{a}\).

Gestes autorisés

Même ajout des deux côtés ; même multiplication par un nombre non nul.

Égalité fausse (ex. 6 = 5)

Aucune solution : \(S = \varnothing\).

Égalité toujours vraie

Tous les réels sont solutions : \(S = \mathbb{R}\).