Équations du second degré

Introduction

Une équation du second degré est une équation qui peut s’écrire sous la forme :
ax^2 + bx + c = 0,
avec a, b, c réels, et a ≠ 0.

Objectif

Résoudre une telle équation : trouver toutes les valeurs de x qui la vérifient.

Forme canonique et discriminant

Le discriminant \(\Delta\) d'une équation est défini par :
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Cas de résolution

1. Lorsque \(\Delta > 0\)

L'équation admet deux solutions réelles et distinctes :
\[ x_1 = rac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ x_2 = rac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \]

2. Lorsque \(\Delta = 0\)

L'équation admet une seule solution réelle :
\[ x = rac{-b}{2a} \]

3. Lorsque \(\Delta < 0\)

L'équation n'a pas de solution réelle. Les solutions sont complexes :

\( x = rac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a} \)

Résumé

• Calcul du discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
• Selon la valeur de \(\Delta\), détermination des solutions.
• Solutions réelles si \(\Delta \geq 0\), solutions complexes sinon.

Exemple

Résoudre l’équation \(2x^2 - 4x - 6 = 0\).

\(a=2,\ b=-4,\ c=-6\)

Calcul du discriminant : \[ \Delta = (-4)^2 - 4 imes 2 imes (-6) = 16 + 48 = 64 \]

Puis, les solutions :

\[ x_1 = rac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 imes 2} = rac{4 - 8}{4} = -1 \]

\[ x_2 = rac{4 + 8}{4} = 3 \]

Les solutions sont donc \(x = -1\) et \(x = 3\).