Objectifs

• Reconnaître une équation du second degré \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a \neq 0\).
• Résoudre les cas simples : \(x^2 = k\), facteur commun, identités remarquables.
• Utiliser la forme canonique pour factoriser un trinôme.
• Utiliser le discriminant \(\Delta = b^2-4ac\) pour trouver le nombre de solutions et les calculer.
• Mettre un problème concret en équation et interpréter les solutions.

1. Qu'est-ce qu'une équation du second degré ?

Notions clés

Une équation du second degré d'inconnue \(x\) est une équation qui peut s'écrire :

Les nombres qui vérifient l'égalité s'appellent les solutions (ou racines). Une telle équation a 0, 1 ou 2 solutions réelles.

L'outil principal : la règle du produit nul

Analogie : si Fatou te dit « j'ai multiplié deux nombres et j'ai trouvé zéro », tu sais à coup sûr que l'un des deux nombres est zéro. C'est pour cela qu'on cherche toujours à factoriser.

2. Les cas simples

a) Équations du type \(x^2 = k\)

• Si \(k > 0\) : deux solutions, \(x = \sqrt{k}\) ou \(x = -\sqrt{k}\).
• Si \(k = 0\) : une seule solution, \(x = 0\).
• Si \(k \lt 0\) : aucune solution réelle (un carré n'est jamais négatif).

Exemples : \(x^2 = 9\) donne \(x = 3\) ou \(x = -3\) ; \(x^2+4 = 0\) s'écrit \(x^2 = -4\) : pas de solution ; \((x-2)^2 = 5\) donne \(x-2 = \sqrt{5}\) ou \(x-2 = -\sqrt{5}\), soit \(x = 2+\sqrt{5}\) ou \(x = 2-\sqrt{5}\).

b) Facteur commun (quand \(c = 0\))

Exemple 1. Résoudre \(3x^2 - 12x = 0\). Cherche d'abord.

c) Identités remarquables

Exemple 2. Résoudre \(4x^2-25 = 0\) puis \(x^2-6x+9 = 0\). Cherche d'abord.

3. La forme canonique

La méthode sur un exemple

Exemple 3. Résoudre \(x^2+2x-8 = 0\). Aucun facteur commun, pas d'identité visible : on complète le carré.

Cas général

Pour \(a \neq 0\), en complétant le carré de la même façon, on obtient :

Tout dépend donc du signe du nombre \(b^2-4ac\), que l'on appelle le discriminant.

4. Le discriminant : une méthode qui marche toujours

Le théorème

Pour l'équation \(ax^2+bx+c = 0\) avec \(a \neq 0\), on calcule \(\Delta = b^2-4ac\).

• Si \(\Delta > 0\) : deux solutions distinctes \(x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\).
• Si \(\Delta = 0\) : une seule solution \(x_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
• Si \(\Delta \lt 0\) : aucune solution réelle.

Sur le graphique, les solutions de \(ax^2+bx+c = 0\) sont les abscisses des points où la parabole coupe l'axe horizontal. Fais varier \(c\) : la parabole monte ou descend et le nombre de points d'intersection passe de 2 à 1 puis à 0, exactement comme le signe de \(\Delta\).

Exemples résolus

Exemple 4. Résoudre \(2x^2+3x-2 = 0\). Cherche d'abord.

Exemple 5. Résoudre \(2x^2-3x+5 = 0\).

Exemple 6 (le terrain de Koffi). Résoudre \(x^2+4x-96 = 0\) et donner les dimensions du terrain.

Quelle méthode choisir ?

flowchart TD
  A[Équation du second degré] --> B{Le terme c est nul}
  B -- oui --> C[Facteur commun x]
  B -- non --> D{Identité remarquable visible}
  D -- oui --> E[Factoriser puis produit nul]
  D -- non --> F[Calculer le discriminant]

Erreurs fréquentes

• Oublier la solution négative : \(x^2 = 16\) a deux solutions, \(4\) et \(-4\).
• Diviser par \(x\) et perdre la solution \(x = 0\).
• Se tromper de signe dans \(\Delta\) : \((-3)^2 = 9\).
• Oublier de rejeter une solution qui n'a pas de sens dans le problème (une longueur négative, par exemple).
• Appliquer la règle du produit nul à une somme : \(x(x-1) = 6\) ne donne pas \(x = 6\) ! Il faut d'abord tout passer à gauche pour avoir « \(= 0\) ».

Récapitulatif

• Forme générale : \(ax^2+bx+c = 0\) avec \(a \neq 0\) ; 0, 1 ou 2 solutions.
• Règle du produit nul : \(A \times B = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\). On factorise toujours avant de conclure.
• Cas simples : \(x^2 = k\), facteur commun, identités remarquables.
• Forme canonique : on complète le carré pour faire apparaître \(A^2-B^2\).
• Discriminant \(\Delta = b^2-4ac\) : deux solutions si \(\Delta > 0\), une si \(\Delta = 0\), aucune si \(\Delta \lt 0\).