Équations du second degré : de la forme canonique au discriminant, pas à pas

Toute équation \(ax^2 + bx + c = 0\) peut se ramener, en « complétant le carré », à la forme \((x - \alpha)^2 = k\) ; le signe de \(k\), donné par le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\), dit s'il y a deux, une ou aucune solution, et la parabole le montre.

Objectifs

Résoudre les équations du type \(x^2 = k\) et \((x - \alpha)^2 = k\).
Compléter le carré pour écrire un trinôme sous forme canonique.
Comprendre d'où viennent le discriminant et les formules des racines, au lieu de les apprendre par cœur sans les comprendre.
Appliquer les formules dans les trois cas \(\Delta \gt 0\), \(\Delta = 0\), \(\Delta \lt 0\), avec des racines exactes.
Lire les racines sur la parabole et interpréter les racines dans un problème.

1. Le point de départ : les équations « carré = nombre »

Exemple résolu 1

Résoudre a) \((x - 3)^2 = 16\) ; b) \((x + 2)^2 = 5\) ; c) \((x - 1)^2 = -9\).

a) \(16 \gt 0\) : \(x - 3 = 4\) ou \(x - 3 = -4\), donc \(x = 7\) ou \(x = -1\). \(S = \{-1\,;\,7\}\).

b) \(5 \gt 0\) : \(x + 2 = \sqrt{5}\) ou \(x + 2 = -\sqrt{5}\), donc \(S = \{-2 - \sqrt{5}\,;\,-2 + \sqrt{5}\}\).

c) \(-9 \lt 0\) et un carré est toujours positif ou nul : \(S = \varnothing\).

Combien de solutions réelles a l'équation (x + 4)² = 0 ?

Aucune
Une seule : x = −4
Deux : x = 4 et x = −4

Un carré est nul seulement si ce qu'il contient est nul : x + 4 = 0, donc x = −4, et c'est la seule.

2. Compléter le carré : la forme canonique

Regardons \(x^2 + 6x\) avec des surfaces :

On coupe \(6x\) en deux bandes de \(3x\), collées sur deux côtés du carré \(x^2\).

Il manque un petit carré de \(3 \times 3 = 9\) pour obtenir un carré de côté \(x + 3\) : \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\), donc \(x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9\).

Exemple résolu 2 : \(x^2 + 6x + 5 = 0\)

Moitié de \(6\) : \(3\). Donc \(x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9\).

L'équation devient \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), soit \((x + 3)^2 = 4\).

\(4 \gt 0\) : \(x + 3 = 2\) ou \(x + 3 = -2\), donc \(x = -1\) ou \(x = -5\).

Vérification : \(1 - 6 + 5 = 0\) et \(25 - 30 + 5 = 0\). \(S = \{-5\,;\,-1\}\).

Exemple résolu 3 : quand \(a \neq 1\)

Résoudre \(2x^2 - 8x + 6 = 0\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

On divise tout par \(2\) (non nul) : \(x^2 - 4x + 3 = 0\).

Moitié de \(-4\) : \(-2\). Donc \(x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4\) et l'équation devient \((x - 2)^2 - 4 + 3 = 0\), soit \((x - 2)^2 = 1\).

\(x - 2 = 1\) ou \(x - 2 = -1\) : \(S = \{1\,;\,3\}\). Vérification : \(2 - 8 + 6 = 0\) et \(18 - 24 + 6 = 0\).

Exemple résolu 4 : pas de solution

Résoudre \(x^2 + 2x + 5 = 0\).

Voir la solution

\(x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1\), donc l'équation devient \((x + 1)^2 + 4 = 0\), soit \((x + 1)^2 = -4\).

Un carré ne peut pas valoir \(-4\) : \(S = \varnothing\).

Quelle est la forme canonique de x² − 10x + 21 ?

(x − 5)² − 4
(x − 10)² + 21
(x + 5)² − 4

Moitié de −10 : −5, donc x² − 10x = (x − 5)² − 25, et −25 + 21 = −4.

3. Du carré complété au discriminant

Soit \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\). On suit exactement les mêmes étapes qu'avant.

Étape 1 : on divise par \(a\) : \[x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0.\]

Étape 2 : moitié de \(\frac{b}{a}\) : \(\frac{b}{2a}\). On complète le carré : \[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0.\]

Étape 3 : on isole le carré et on met au même dénominateur \(4a^2\) : \[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.\]

Étape 4 : on nomme \(\Delta = b^2 - 4ac\), le discriminant. Comme \(4a^2 \gt 0\), le second membre a le signe de \(\Delta\) : on retrouve « carré = nombre ».

Étape 5 : si \(\Delta \gt 0\), \(x + \frac{b}{2a} = \pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\), d'où les deux racines \[x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{et} \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}.\]

Exemple résolu 5 : \(\Delta \gt 0\)

Résoudre \(3x^2 - 5x - 2 = 0\).

On repère \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -2\) (avec leurs signes).

\(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 25 + 24 = 49\), et \(\sqrt{49} = 7\).

\(x_1 = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\) et \(x_2 = \frac{5 + 7}{6} = 2\).

Vérification avec \(x = 2\) : \(12 - 10 - 2 = 0\). \(S = \left\{-\frac{1}{3}\,;\,2\right\}\).

Exemple résolu 6 : racines avec un radical

Résoudre \(x^2 - 4x + 1 = 0\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

\(\Delta = 16 - 4 = 12\) et \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\).

\(x = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\). Donc \(S = \{2 - \sqrt{3}\,;\,2 + \sqrt{3}\}\).

Exemple résolu 7 : \(\Delta = 0\) et \(\Delta \lt 0\)

Résoudre a) \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) ; b) \(x^2 - x + 1 = 0\).

Voir la solution

a) \(\Delta = 144 - 4 \times 4 \times 9 = 144 - 144 = 0\) : une racine double \(x = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\). En effet \(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\).

b) \(\Delta = 1 - 4 = -3 \lt 0\) : aucune racine réelle, \(S = \varnothing\).

Pour 2x² + 3x − 2 = 0, que vaut le discriminant ?

Δ = −7
Δ = 9
Δ = 25

Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25 : le produit −4ac est positif car c est négatif.

4. Voir les racines sur la parabole, et les interpréter

Les solutions de \(ax^2 + bx + c = 0\) sont les abscisses des points où la parabole d'équation \(y = ax^2 + bx + c\) coupe l'axe des abscisses. Deux points si \(\Delta \gt 0\), un point de contact si \(\Delta = 0\), aucun si \(\Delta \lt 0\).

Au départ, la courbe est celle de \(y = x^2 - 2x - 3\) : \(\Delta = 4 + 12 = 16\), racines \(\frac{2 \pm 4}{2}\), soit \(-1\) et \(3\). Vérifie qu'elle coupe l'axe en ces deux points, puis bouge \(c\) jusqu'à ce que la courbe ne touche plus l'axe : \(\Delta\) est devenu négatif. (Évite \(a = 0\) : ce n'est plus une équation du second degré.)

Exemple résolu 8 : le terrain de Kofi

Un terrain rectangulaire à Kumasi a une longueur qui dépasse sa largeur de 5 m, et une aire de 84 m². Quelles sont ses dimensions ?

On note \(x\) la largeur en mètres (\(x \gt 0\)) : la longueur est \(x + 5\) et \(x(x + 5) = 84\), soit \(x^2 + 5x - 84 = 0\).

\(\Delta = 25 + 336 = 361 = 19^2\).

\(x_1 = \frac{-5 - 19}{2} = -12\) et \(x_2 = \frac{-5 + 19}{2} = 7\).

Une largeur est positive : on rejette \(-12\). Largeur 7 m, longueur 12 m. Vérification : \(7 \times 12 = 84\) m².

Une parabole y = ax² + bx + c ne coupe jamais l'axe des abscisses. Que peut-on dire de Δ ?

Δ > 0
Δ < 0
Δ = 0

Pas de point sur l'axe signifie pas de solution réelle, ce qui correspond à un discriminant négatif.

Erreurs fréquentes

Oublier une racine : \(x^2 = 9\) donne \(x = 3\) ou \(x = -3\).
Compléter le carré sans compenser : \(x^2 + 6x \neq (x + 3)^2\) ; il faut retirer \(9\).
Appliquer la formule trop tôt : on ramène d'abord l'équation à \(ax^2 + bx + c = 0\).
Diviser seulement \(\sqrt{\Delta}\) par \(2a\) : c'est tout le numérateur \(-b \pm \sqrt{\Delta}\) qui est divisé.
Garder une racine absurde : dans un problème, une longueur négative est rejetée.

Récapitulatif

\(x^2 = k\) : deux solutions si \(k \gt 0\), une si \(k = 0\), aucune si \(k \lt 0\).
Compléter le carré : \(x^2 + px = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2\).
Appliqué à \(ax^2 + bx + c = 0\), ce calcul fait apparaître \(\Delta = b^2 - 4ac\) et les racines \(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
Dans un problème, on vérifie et on ne garde que les racines qui ont du sens.

x² = k avec k > 0

Deux solutions : √k et −√k.

Compléter le carré

x² + px = (x + p/2)² − (p/2)².

Discriminant

Δ = b² − 4ac ; son signe donne le nombre de racines.

Racines si Δ > 0

(−b − √Δ) / 2a et (−b + √Δ) / 2a.

Racine double

Si Δ = 0 : x = −b / 2a ; la parabole touche l'axe en un point.