Équations du second degré

Introduction

Une équation du second degré est une équation de la forme :
\[ ax^2 + bx + c = 0 \] où \( a eq 0 \), et \( a, b, c \) sont des nombres réels.

Objectifs

• Comprendre la forme générale d'une équation du second degré.
• Apprendre à résoudre une telle équation en utilisant la formule du discriminant.
• Étudier le nombre de solutions en fonction du discriminant.

1. La formule du discriminant

La solution de l'équation \( ax^2 + bx + c = 0 \) dépend du discriminant \(\Delta\), défini par :

\[ \Delta = b^2 - 4ac \]

Le discriminant permet de déterminer le nombre et la nature des solutions.

2. Cas selon le discriminant

• Si \(\Delta > 0\), l'équation possède deux solutions réelles distinctes :

  \[x_1 = rac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\], 
  \[x_2 = rac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\]
  

• Si \(\Delta = 0\), l'équation a une seule solution réelle (solution double) :

  \[ x = rac{-b}{2a} \]
  

• Si \(\Delta < 0\), il n'existe pas de solutions réelles (solutions complexes) :

  Aucun solution réelle.
  \

3. Résolution d'une équation du second degré

Pour résoudre une équation :

1. Calculer le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
2. Selon la valeur de \(\Delta\), utiliser la formule adaptée :

Exemple

Résoudre l'équation : \(2x^2 - 4x - 6 = 0\).

1. Calcul du discriminant :

  \[ \Delta = (-4)^2 - 4 	imes 2 	imes (-6) = 16 + 48 = 64 \]
  \

2. Puis, comme \(\Delta > 0\), deux solutions :

  x_1 = rac{-(-4) - \sqrt{64}}{2 	imes 2} = rac{4 - 8}{4} = -1 \,\quad
  x_2 = rac{4 + 8}{4} = 3 \]
  \

Conclusion

Les équations du second degré ont une solution fondamentale : \(\Delta\), le discriminant. La résolution repose sur son calcul et l'utilisation de formules simples.