Équations du second degré : factoriser, calculer le discriminant et interpréter les racines
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Équations du second degré : factoriser, calculer le discriminant et interpréter les racines
Une équation \(ax^2 + bx + c = 0\) se résout soit en factorisant, soit avec le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\), dont le signe annonce à l'avance s'il y a deux, une ou aucune solution réelle.
Objectifs
Reconnaître une équation du second degré et ses coefficients \(a\), \(b\), \(c\).
Résoudre les cas simples par factorisation (facteur commun, identités remarquables).
Calculer le discriminant et appliquer les formules des racines.
Interpréter les racines : nombre de solutions, factorisation, lecture sur la parabole, sens dans un problème.
1. Reconnaître une équation du second degré
Une équation du second degré d'inconnue \(x\) est une équation qui peut s'écrire
\[
ax^2 + bx + c = 0 \qquad \text{avec } a, b, c \text{ réels et } a \neq 0.
\]
Les solutions s'appellent les racines du trinôme \(ax^2 + bx + c\).
Exemples : dans \(2x^2 - 3x - 2 = 0\), on a \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = -2\). Dans \(x^2 - 25 = 0\), on a \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -25\).
Dans \(4 - x^2 + 2x = 0\), que valent \(a\), \(b\) et \(c\) ?
\(a = 4\), \(b = -1\), \(c = 2\)
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 4\)
\(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 4\)
On range par puissances décroissantes : \(-x^2 + 2x + 4 = 0\). Le coefficient de \(x^2\) est \(-1\), celui de \(x\) est \(2\), le terme constant est \(4\).
2. Les cas simples : factoriser puis utiliser le produit nul
On utilise la règle du produit nul : \(A \times B = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\).
Si \(c = 0\) : on met \(x\) en facteur.
Si \(b = 0\) : on utilise \(u^2 - v^2 = (u - v)(u + v)\).
Si on reconnaît un carré : \(u^2 - 2uv + v^2 = (u - v)^2\) ou \(u^2 + 2uv + v^2 = (u + v)^2\).
Exemple résolu 1
Résoudre a) \(2x^2 - 8x = 0\) ; b) \(x^2 - 25 = 0\) ; c) \(x^2 - 6x + 9 = 0\).
Voir la solution
a) Facteur commun \(2x\) : \(2x(x - 4) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 4\). \(S = \{0\,;\,4\}\).
b) Différence de deux carrés : \((x - 5)(x + 5) = 0\), donc \(x = 5\) ou \(x = -5\). \(S = \{-5\,;\,5\}\).
c) Carré parfait : \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 = 0\), donc \(x = 3\). Une seule solution, dite racine double. \(S = \{3\}\).
Quelles sont les solutions de \(x^2 + 7x = 0\) ?
\(0\) seulement
\(0\) et \(-7\)
\(0\) et \(7\)
\(x(x + 7) = 0\) donne \(x = 0\) ou \(x + 7 = 0\), c'est-à-dire \(x = -7\).
3. Le discriminant : la méthode qui marche toujours
Pour \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)), on calcule le discriminant :
Les racines de \(ax^2 + bx + c = 0\) sont les abscisses des points où la parabole \(y = ax^2 + bx + c\) coupe l'axe des abscisses.
Fais varier \(a\), \(b\) et \(c\) : observe quand la parabole coupe l'axe deux fois, le touche, ou ne le rencontre pas. Le signe de \(a\) décide si elle est tournée vers le haut (\(a > 0\)) ou vers le bas (\(a < 0\)).
Factorisation à l'aide des racines
Si \(\Delta > 0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).
Si \(\Delta = 0\) : \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\).
Si \(\Delta < 0\) : le trinôme ne se factorise pas en produit de facteurs du premier degré.
Par exemple, \(2x^2 - 3x - 2 = 2\left(x + \tfrac{1}{2}\right)(x - 2) = (2x + 1)(x - 2)\). On vérifie en développant : \(2x^2 - 4x + x - 2 = 2x^2 - 3x - 2\).
Somme et produit des racines
Quand \(\Delta \ge 0\) : \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\) et \(x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}\). Pour \(2x^2 - 3x - 2\) : \(-\tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{3}{2} = -\tfrac{-3}{2}\) et \(-\tfrac{1}{2} \times 2 = -1 = \tfrac{-2}{2}\). C'est un bon moyen de contrôler ses calculs.
Exemple résolu 4 : le terrain de Ouagadougou
Un terrain rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de 5 m, et une aire de \(150\ \text{m}^2\). Quelles sont ses dimensions ?
Voir la solution
Étape 1 : soit \(x\) la largeur en mètres ; la longueur est \(x + 5\). Aire : \(x(x + 5) = 150\), soit \(x^2 + 5x - 150 = 0\).
