Équations du second degré (Seconde)

Équations du second degré

Objectifs

Comprendre la forme générale d'une équation quadratique, utiliser le discriminant pour déterminer le nombre de solutions réelles, savoir résoudre une équation du second degré par la formule quadratique, par factorisation ou par mise en forme canonique, et relier l'équation à la représentation graphique (parabole).

Définition et forme générale

Une équation du second degré à une inconnue x s'écrit sous la forme :

ax² + bx + c = 0 avec a, b, c ∈ ℝ et a ≠ 0.

Discriminant

On définit le discriminant Δ par :

Δ = b² − 4ac

Le signe de Δ donne le nombre de solutions réelles :

Si Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes.
Si Δ = 0 : une solution réelle double (racine double).
Si Δ < 0 : pas de solution réelle (solutions complexes conjuguées).

Formule générale (formule quadratique)

Si Δ ≥ 0, les solutions sont données par :

x = (−b ± √Δ) / (2a)

Preuve rapide (complétion du carré) : à partir de ax²+bx+c=0, diviser par a puis compléter le carré on obtient (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²).

Mise en forme canonique (compléter le carré)

On peut écrire :

ax² + bx + c = a( x + b/(2a) )² − a( b²/(4a²) − c/a )

ou plus simplement : a(x − α)² + β avec α = −b/(2a) et β = c − b²/(4a).

Cette forme facilite l'étude du signe et permet d'identifier le sommet de la parabole (α, β).

Factorisation

Si Δ ≥ 0, on peut factoriser :

ax² + bx + c = a(x − x1)(x − x2) où x1 et x2 sont les solutions réelles.

Si Δ = 0, ax² + bx + c = a(x − x0)² avec x0 = −b/(2a).

Relations entre coefficients et racines

Si x1 et x2 sont les racines (réelles ou complexes) :

x1 + x2 = −b/a (relation de somme)
x1 · x2 = c/a (relation de produit)

Représentation graphique

La courbe de y = ax² + bx + c est une parabole :

ouverte vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
le sommet a pour abscisse α = −b/(2a) et ordonnée β = c − b²/(4a).
les intersections avec l'axe des abscisses correspondent aux solutions de l'équation ax²+bx+c=0.

Méthodes de résolution (récapitulatif)

Calculer Δ = b² − 4ac.
Si Δ < 0 : aucune solution réelle.
Si Δ ≥ 0 : utiliser x = (−b ± √Δ)/(2a) ou factoriser si possible.
Alternativement, compléter le carré pour mettre en forme canonique et lire les solutions.

Exemples

1) Résoudre 2x² − 3x − 5 = 0.

Δ = (−3)² − 4·2·(−5) = 9 + 40 = 49 > 0. Donc x = (3 ± 7)/(4) → x1 = (3+7)/4 = 10/4 = 5/2, x2 = (3−7)/4 = −1.

2) Résoudre x² − 6x + 9 = 0.

Δ = 36 − 36 = 0. Racine double x = 6/(2) = 3. On a (x − 3)² = 0.

Exercices courts

Exercice 1 : Résoudre 3x² + x − 2 = 0.

Exercice 2 : Déterminer le signe de f(x) = −x² + 4x − 3 et donner ses zéros.

Corrections (brefs)

Ex1 : Δ = 1 + 24 = 25 → x = (−1 ± 5)/(6) → x1 = 4/6 = 2/3, x2 = −6/6 = −1.

Ex2 : Δ = 16 − 12 = 4 → zéros : x = (−4 ± 2)/(−2) → simplifier : x = 1 ou x = 3. Comme a = −1 < 0, f(x) ≥ 0 entre 1 et 3 et f(x) < 0 ailleurs.

Conseils méthodologiques

Vérifier toujours que a ≠ 0 (sinon équation linéaire).
Commencer par calculer Δ pour choisir la méthode la plus simple.
Utiliser factorisation lorsque les coefficients sont entiers et simples pour éviter les racines irrationnelles.
Utiliser la forme canonique pour étudier le signe et le sommet de la parabole.