Équations du second degré : stratégie de résolution, somme et produit des racines

Avant de résoudre, on ramène l'équation à la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) et on choisit la méthode la plus courte ; ensuite, la somme \(-\frac{b}{a}\) et le produit \(\frac{c}{a}\) des racines permettent de contrôler et d'interpréter le résultat.

Objectifs

Transformer une équation « déguisée » (carrés, produits, quotients) en équation \(ax^2 + bx + c = 0\), ou reconnaître qu'elle est en fait du premier degré.
Choisir la méthode adaptée : factorisation directe, racine évidente ou discriminant.
Calculer des racines exactes avec des radicaux simplifiés.
Utiliser la somme et le produit des racines pour vérifier, trouver une racine manquante ou deux nombres inconnus.
Interpréter les racines dans un problème concret et éliminer celles qui n'ont pas de sens.

1. Démasquer l'équation : la ramener à la forme standard

Exemple résolu 1 : trois équations déguisées

Résoudre a) \(x(x - 3) = 10\) ; b) \((x + 1)^2 = 2x + 10\) ; c) \(x^2 + 3x = x^2 + 5\).

a) \(x^2 - 3x = 10\), donc \(x^2 - 3x - 10 = 0\). On cherche deux nombres de somme \(3\) et de produit \(-10\) : \(5\) et \(-2\). Donc \((x - 5)(x + 2) = 0\) et \(S = \{-2\,;\,5\}\).

b) \(x^2 + 2x + 1 = 2x + 10\), donc \(x^2 - 9 = 0\) : le terme en \(x\) a disparu. \((x - 3)(x + 3) = 0\), \(S = \{-3\,;\,3\}\).

c) Les \(x^2\) s'annulent : \(3x = 5\), donc \(x = \frac{5}{3}\). Équation du premier degré, une seule solution.

Vérifications : \(5 \times 2 = 10\) et \((-2)(-5) = 10\) ; \((-3 + 1)^2 = 4 = -6 + 10\) ; \(\frac{25}{9} + 5 = \frac{25}{9} + 5\).

Exemple résolu 2 : égalité de deux carrés

Résoudre \((2x - 1)^2 = (x + 2)^2\). Cherche d'abord sans développer.

Voir la solution

\(A^2 = B^2 \iff A = B\) ou \(A = -B\).

\(2x - 1 = x + 2\) donne \(x = 3\) ; \(2x - 1 = -x - 2\) donne \(3x = -1\), soit \(x = -\frac{1}{3}\).

Vérification : \(5^2 = 5^2\) et \(\left(-\frac{5}{3}\right)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2\). \(S = \left\{-\frac{1}{3}\,;\,3\right\}\).

Exemple résolu 3 : une équation-quotient

Résoudre \(\dfrac{x + 3}{x - 1} = x\).

Valeur interdite : le dénominateur ne doit pas être nul, donc \(x \neq 1\).

Pour \(x \neq 1\), on multiplie par \(x - 1\) : \(x + 3 = x(x - 1) = x^2 - x\).

\(x^2 - 2x - 3 = 0\), soit \((x - 3)(x + 1) = 0\) : \(x = 3\) ou \(x = -1\).

Aucune n'est interdite. Vérification : \(\frac{6}{2} = 3\) et \(\frac{2}{-2} = -1\). \(S = \{-1\,;\,3\}\).

L'équation \((x - 2)^2 = x^2 + 8\) est-elle du second degré ?

Oui, car elle contient \(x^2\)
Oui, avec \(a = 2\)
Non : après simplification, \(-4x + 4 = 8\), donc \(x = -1\)

\(x^2 - 4x + 4 = x^2 + 8\) : les \(x^2\) s'annulent, il reste \(-4x = 4\), donc \(x = -1\). Vérification : \((-3)^2 = 9 = 1 + 8\).

2. Choisir la méthode la plus courte

flowchart TD
  A[Equation ax2 plus bx plus c egale 0] --> B{c egal 0}
  B -- oui --> C[Mettre x en facteur]
  B -- non --> D{b egal 0}
  D -- oui --> E[Isoler x2]
  D -- non --> F{Identite remarquable visible}
  F -- oui --> G[Factoriser]
  F -- non --> H{a plus b plus c egal 0 ou a moins b plus c egal 0}
  H -- oui --> I[Racine evidente 1 ou moins 1]
  H -- non --> J[Discriminant]

Exemple résolu 4 : quatre équations, quatre méthodes

Choisis la méthode, puis résous : a) \(5x^2 + 15x = 0\) ; b) \(9x^2 - 4 = 0\) ; c) \(2x^2 + 7x + 5 = 0\) ; d) \(x^2 - 4x + 1 = 0\).

a) \(c = 0\) : \(5x(x + 3) = 0\), donc \(S = \{-3\,;\,0\}\).

b) \(b = 0\) : \(x^2 = \frac{4}{9}\), donc \(x = \frac{2}{3}\) ou \(x = -\frac{2}{3}\).

c) \(a - b + c = 2 - 7 + 5 = 0\) : \(-1\) est racine, l'autre est \(-\frac{5}{2}\). Vérification : \(2 \times \frac{25}{4} - \frac{35}{2} + 5 = \frac{25}{2} - \frac{35}{2} + \frac{10}{2} = 0\).

d) Rien d'évident : \(\Delta = 16 - 4 = 12\), \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), donc \(x = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}\). Valeurs approchées : \(0{,}27\) et \(3{,}73\).

Simplifier les racines

Résoudre \(3x^2 + 2x - 2 = 0\) en donnant les valeurs exactes. Cherche d'abord.

Voir la solution

\(\Delta = 2^2 - 4 \times 3 \times (-2) = 4 + 24 = 28\) et \(\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}\).

\[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2(-1 \pm \sqrt{7})}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3}. \]

\(S = \left\{\frac{-1 - \sqrt{7}}{3}\,;\,\frac{-1 + \sqrt{7}}{3}\right\}\), soit environ \(-1{,}22\) et \(0{,}55\).

Quelle est la méthode la plus rapide pour \(4x^2 - 9x + 5 = 0\) ?

Racine évidente : \(4 - 9 + 5 = 0\), donc \(1\) et \(\frac{5}{4}\)
Mettre \(x\) en facteur
Identité remarquable \((2x - 3)^2\)

\(a + b + c = 0\) : \(1\) est racine et l'autre vaut \(\frac{c}{a} = \frac{5}{4}\). Le discriminant confirme : \(\Delta = 81 - 80 = 1\), \(x = \frac{9 \pm 1}{8}\).

3. Somme et produit des racines

D'où ça vient

Somme : \(\dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} + \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-2b}{2a} = -\dfrac{b}{a}\).

Produit : \(\dfrac{(-b - \sqrt{\Delta})(-b + \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \dfrac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \dfrac{4ac}{4a^2} = \dfrac{c}{a}\).

Trois usages

Vérifier : pour \(x^2 - 4x + 1 = 0\), \((2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4 = -\frac{-4}{1}\) et \((2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1 = \frac{1}{1}\).
Trouver la racine manquante quand on en connaît une.
Trouver deux nombres connaissant leur somme \(S\) et leur produit \(P\) : ce sont les solutions de \(x^2 - Sx + P = 0\).

Exemple résolu 5 : la racine manquante

Vérifier que \(-4\) est racine de \(2x^2 + 5x - 12 = 0\), puis trouver l'autre racine sans discriminant.

\(2 \times 16 + 5 \times (-4) - 12 = 32 - 20 - 12 = 0\) : \(-4\) est racine.

Produit des racines : \(\frac{c}{a} = \frac{-12}{2} = -6\). Donc \(-4 \times x_2 = -6\) et \(x_2 = \frac{3}{2}\).

Contrôle avec la somme : \(-4 + \frac{3}{2} = -\frac{5}{2} = -\frac{b}{a}\). \(S = \left\{-4\,;\,\frac{3}{2}\right\}\).

Exemple résolu 6 : deux nombres mystères

Aïcha pense à deux nombres dont la somme vaut 13 et le produit 40. Lesquels ? Cherche d'abord.

Voir la solution

Ce sont les solutions de \(x^2 - 13x + 40 = 0\). \(\Delta = 169 - 160 = 9\), donc \(x = \frac{13 - 3}{2} = 5\) ou \(x = \frac{13 + 3}{2} = 8\).

Les deux nombres sont 5 et 8 : \(5 + 8 = 13\) et \(5 \times 8 = 40\).

Sur le graphique de \(y = x^2 - Sx + P\), les deux nombres sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe horizontal. Fais varier \(S\) et \(P\) : si la courbe ne coupe plus l'axe, aucun couple de réels n'a cette somme et ce produit.

Les racines de \(3x^2 - 7x + 2 = 0\) ont pour produit :

\(\frac{7}{3}\)
\(\frac{2}{3}\)
\(-\frac{2}{3}\)

Produit \(= \frac{c}{a} = \frac{2}{3}\). En effet les racines sont \(2\) et \(\frac{1}{3}\) (\(\Delta = 25\)), et \(2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).

4. Interpréter les racines dans un problème

Le grand rectangle mesure \(10 + 2x\) sur \(6 + 2x\) : \((10 + 2x)(6 + 2x) = 96\).

On développe : \(60 + 20x + 12x + 4x^2 = 96\), soit \(4x^2 + 32x - 36 = 0\), puis en divisant par 4 : \(x^2 + 8x - 9 = 0\).

\(a + b + c = 1 + 8 - 9 = 0\) : racines \(1\) et \(\frac{c}{a} = -9\).

Interprétation : une largeur est positive, on rejette \(-9\). L'allée mesure 1 m. Vérification : \(12 \times 8 = 96\).

À toi : deux entiers consécutifs

Le produit de deux entiers consécutifs vaut 132. Lesquels ?

Voir la solution

Avec \(n\) et \(n + 1\) : \(n(n + 1) = 132\), soit \(n^2 + n - 132 = 0\). \(\Delta = 1 + 528 = 529 = 23^2\).

\(n = \frac{-1 - 23}{2} = -12\) ou \(n = \frac{-1 + 23}{2} = 11\). Deux réponses : \(11\) et \(12\), ou \(-12\) et \(-11\). Si l'énoncé parle d'entiers naturels, seule la paire \(11\) et \(12\) convient.

Dans un problème de longueur, on trouve les racines \(-7\) et \(4\). Que répondre ?

Les deux longueurs \(-7\) et \(4\)
La longueur \(7\), en prenant la valeur positive de \(-7\)
La longueur \(4\), seule racine positive

Une longueur ne peut pas être négative : on rejette \(-7\). On ne change jamais le signe d'une racine pour l'arranger.

5. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

On développe et on ramène tout dans un membre : on obtient \(ax^2 + bx + c = 0\), ou parfois une équation du premier degré.
Équation-quotient : écrire d'abord les valeurs interdites, puis les éliminer des solutions.
Méthode la plus courte : \(c = 0\), \(b = 0\), identité remarquable, racine évidente, sinon discriminant.
Racines exactes : simplifier \(\sqrt{\Delta}\) puis la fraction.
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) et \(x_1 x_2 = \frac{c}{a}\) : pour vérifier, trouver une racine manquante, ou deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) avec \(x^2 - Sx + P = 0\).
Dans un problème, on garde seulement les racines qui ont un sens.

Forme standard

\(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\), obtenue en développant et en ramenant tout dans un membre.

\(a + b + c = 0\)

\(1\) est racine ; l'autre racine est \(\frac{c}{a}\).

\(a - b + c = 0\)

\(-1\) est racine ; l'autre racine est \(-\frac{c}{a}\).

Somme des racines

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)

Produit des racines

\(x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}\)

Deux nombres de somme \(S\) et produit \(P\)

Les solutions de \(x^2 - Sx + P = 0\).