Équations et inéquations à trois inconnues : mettre un problème en système, résoudre par substitution et vérifier des contraintes

Avec trois inconnues, on cherche des triplets \((x ; y ; z)\) : on traduit chaque information de l'énoncé par une équation ou une inéquation, on réduit le système à deux puis à une inconnue en substituant, et l'on vérifie toujours le triplet trouvé dans toutes les conditions de départ.

Objectifs

Reconnaître une équation et une inéquation linéaires à trois inconnues et tester si un triplet en est solution.
Résoudre un système triangulaire par « remontée ».
Résoudre un système de trois équations par substitutions successives.
Traduire un problème concret par un système à trois inconnues.
Utiliser une égalité pour transformer des inéquations à trois inconnues en inéquations à deux inconnues, sans erreur de sens.

1. Équations et inéquations à trois inconnues : les triplets

Une équation linéaire à trois inconnues s'écrit \(ax + by + cz = d\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des réels et \(a\), \(b\), \(c\) ne sont pas tous nuls. Une inéquation linéaire s'écrit de la même façon avec \(<\), \(\leqslant\), \(>\) ou \(\geqslant\) à la place du signe \(=\).

Une solution est un triplet \((x ; y ; z)\) qui rend l'égalité (ou l'inégalité) vraie. Une seule équation à trois inconnues a en général une infinité de solutions : il faut plusieurs conditions pour « coincer » un triplet.

Exemple résolu 1 : tester des triplets

Le triplet \((1 ; 2 ; 3)\) est-il solution de \(2x - y + z = 3\) ? Et de l'inéquation \(x + y + z \leqslant 5\) ? Cherche d'abord.

Voir la solution

On remplace \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\) :

\[2 \times 1 - 2 + 3 = 3 \quad \text{vrai : le triplet est solution de l'équation.}\] \[1 + 2 + 3 = 6 \quad \text{et } 6 \leqslant 5 \text{ est faux : il n'est pas solution de l'inéquation.}\]

Quel triplet est solution de \(x + 2y - z = 4\) ?

\((1 ; 2 ; 1)\)
\((2 ; 1 ; 1)\)
\((0 ; 1 ; 2)\)

\(1 + 4 - 1 = 4\) : vrai. Pour \((2 ; 1 ; 1)\) on obtient \(3\) et pour \((0 ; 1 ; 2)\) on obtient \(0\).

2. Le système triangulaire : résoudre en remontant

Un système est triangulaire quand la dernière équation ne contient qu'une inconnue, l'avant-dernière deux, la première trois. On le résout en « remontant » : on trouve la dernière inconnue, on la remplace dans l'équation du dessus, et ainsi de suite.

Exemple résolu 2 : une remontée

Résous \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y - z = -1 \\ 2z = 6 \end{cases}\). Cherche d'abord.

3e équation : \(2z = 6 \iff z = 3\).

2e équation : \(y - 3 = -1 \iff y = 2\).

1re équation : \(x + 2 + 3 = 6 \iff x = 1\).

Vérification : \(1 + 2 + 3 = 6\), \(2 - 3 = -1\), \(2 \times 3 = 6\). Donc \(S = \{(1 ; 2 ; 3)\}\).

Dans le système \(\begin{cases} x - y + 2z = 5 \\ y + z = 4 \\ z = 1 \end{cases}\), quelle est la valeur de \(x\) ?

\(x = 3\)
\(x = 1\)
\(x = 6\)

\(z = 1\), puis \(y = 4 - 1 = 3\), puis \(x - 3 + 2 = 5\), donc \(x = 6\). Vérification : \(6 - 3 + 2 = 5\).

3. Résoudre par substitutions successives

La méthode, qui prolonge celle de la classe de seconde :

flowchart LR
  A[Isoler une inconnue dans une equation] --> B[Remplacer dans les deux autres]
  B --> C[Systeme a deux inconnues]
  C --> D[Isoler et remplacer encore]
  D --> E[Une inconnue puis remontee]
  E --> F[Verifier le triplet]

On choisit de préférence une inconnue de coefficient \(1\) ou \(-1\), pour éviter les fractions.

Exemple résolu 3 : un système de trois équations

Résous \(\begin{cases} x + y + z = 9 \\ x - y + 2z = 7 \\ 2x + y - z = 3 \end{cases}\). Cherche d'abord quelle inconnue isoler.

Dans la 1re équation, \(x\) a pour coefficient 1 : \(x = 9 - y - z\).

Dans la 2e : \((9 - y - z) - y + 2z = 7 \iff 9 - 2y + z = 7 \iff -2y + z = -2\).

Dans la 3e : \(2(9 - y - z) + y - z = 3 \iff 18 - 2y - 2z + y - z = 3 \iff -y - 3z = -15 \iff y + 3z = 15\).

Système à deux inconnues : \(\begin{cases} -2y + z = -2 \\ y + 3z = 15 \end{cases}\). De la 1re : \(z = 2y - 2\). Puis \(y + 3(2y - 2) = 15 \iff 7y = 21 \iff y = 3\), et \(z = 2 \times 3 - 2 = 4\).

Remontée : \(x = 9 - 3 - 4 = 2\). Vérification : \(2 + 3 + 4 = 9\) ; \(2 - 3 + 8 = 7\) ; \(4 + 3 - 4 = 3\). Donc \(S = \{(2 ; 3 ; 4)\}\).

On a isolé \(x = 5 - y - z\). Que devient l'équation \(2x + y + z = 7\) après substitution et réduction ?

\(y + z = 3\)
\(3y + 3z = 3\)
\(y + z = -3\)

\(2(5 - y - z) + y + z = 7 \iff 10 - y - z = 7 \iff y + z = 3\).

4. Mettre un problème en système

Méthode : nommer les inconnues par une phrase, écrire une équation par information, résoudre, vérifier dans l'énoncé, répondre par une phrase.

Exemple résolu 4 : les cahiers de Moussa

Moussa achète 10 cahiers et paie 3 200 F. Il a pris deux fois plus de petits cahiers que de grands. Combien de cahiers de chaque sorte a-t-il achetés ? Cherche d'abord le système.

Voir la solution

Soit \(x\) le nombre de petits cahiers, \(y\) le nombre de moyens et \(z\) le nombre de grands :

\[\begin{cases} x + y + z = 10 \\ 200x + 300y + 600z = 3200 \\ x = 2z \end{cases}\]

On divise la 2e équation par 100 : \(2x + 3y + 6z = 32\). La 3e donne déjà \(x = 2z\) : on remplace.

\begin{align} 2z + y + z = 10 &\iff y = 10 - 3z \\ 2(2z) + 3(10 - 3z) + 6z = 32 &\iff 4z + 30 - 9z + 6z = 32 \iff z = 2 \end{align}

Puis \(y = 10 - 6 = 4\) et \(x = 2 \times 2 = 4\).

Vérification : \(4 + 4 + 2 = 10\) cahiers ; \(800 + 1200 + 1200 = 3200\) F ; 4 est bien le double de 2.

Réponse : Moussa a acheté 4 petits cahiers, 4 moyens et 2 grands.

Avec \(y\) le nombre de cahiers moyens et \(z\) le nombre de grands, comment traduire « il y a 3 grands cahiers de moins que de moyens » ?

\(z = y - 3\)
\(y = z - 3\)
\(z = 3y\)

Le nombre de grands s'obtient en retirant 3 au nombre de moyens : \(z = y - 3\), ce qui revient aussi à \(y = z + 3\).

5. Inéquations à trois inconnues : vérifier des contraintes

Une chemise demande 2 m de tissu et 1 h, un pantalon 3 m et 2 h, un boubou 4 m et 2 h. Avec \(x\) chemises, \(y\) pantalons et \(z\) boubous (entiers positifs ou nuls) :

\[\begin{cases} 2x + 3y + 4z \leqslant 30 & \text{(tissu)} \\ x + 2y + 2z \leqslant 18 & \text{(heures)} \end{cases}\]

Un triplet est admissible s'il vérifie toutes les inéquations à la fois.

Exemple résolu 5 : quels programmes sont possibles ?

Les programmes \((3 ; 4 ; 2)\) et \((5 ; 2 ; 4)\) sont-ils possibles ? Cherche d'abord.

\((3 ; 4 ; 2)\) : tissu \(6 + 12 + 8 = 26 \leqslant 30\) ; heures \(3 + 8 + 4 = 15 \leqslant 18\). Les deux contraintes sont respectées : programme possible.

\((5 ; 2 ; 4)\) : tissu \(10 + 6 + 16 = 32\), et \(32 \leqslant 30\) est faux. Programme impossible : une seule contrainte non respectée suffit.

Exemple résolu 6 : ajouter une égalité pour réduire le nombre d'inconnues

Rokia veut coudre exactement 10 pièces : \(x + y + z = 10\). Traduis les deux contraintes en inéquations portant seulement sur \(x\) et \(y\). Cherche d'abord.

On isole \(z = 10 - x - y\) et l'on remplace dans les deux inéquations.

Tissu : \(2x + 3y + 4(10 - x - y) \leqslant 30 \iff -2x - y + 40 \leqslant 30 \iff -2x - y \leqslant -10\). On multiplie par \(-1\), ce qui change le sens : \(2x + y \geqslant 10\).

Heures : \(x + 2y + 2(10 - x - y) \leqslant 18 \iff -x + 20 \leqslant 18 \iff -x \leqslant -2 \iff x \geqslant 2\).

Comme \(z \geqslant 0\), il faut aussi \(x + y \leqslant 10\). Exemple : \(x = 4\), \(y = 2\) donne \(z = 4\) ; vérification : tissu \(8 + 6 + 16 = 30 \leqslant 30\), heures \(4 + 4 + 8 = 16 \leqslant 18\). Le programme \((4 ; 2 ; 4)\) est possible.

Le triplet \((2 ; 1 ; 3)\) vérifie-t-il les inéquations \(x + y + z \leqslant 5\) et \(x - z \geqslant 0\) ?

Oui, les deux
Seulement la première
Aucune des deux

\(2 + 1 + 3 = 6\), et \(6 \leqslant 5\) est faux ; \(2 - 3 = -1\), et \(-1 \geqslant 0\) est faux. Le triplet ne vérifie aucune des deux.

On multiplie les deux membres de \(-3x + y \leqslant 6\) par \(-1\). On obtient :

\(3x - y \leqslant -6\)
\(3x - y \geqslant -6\)
\(3x + y \geqslant 6\)

Chaque terme change de signe et, comme on multiplie par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse : \(3x - y \geqslant -6\).

Erreurs fréquentes

Donner la solution sous forme de trois nombres séparés au lieu d'un triplet \((x ; y ; z)\) dans le bon ordre.
Oublier de substituer dans une des équations : après avoir isolé une inconnue, on la remplace dans toutes les autres.
Oublier les parenthèses : \(2(9 - y - z) = 18 - 2y - 2z\), et non \(18 - y - z\).
Ne pas inverser le sens d'une inéquation multipliée par un nombre négatif.
Vérifier une seule contrainte : un triplet est admissible seulement s'il les vérifie toutes.
Oublier les conditions cachées : des nombres d'objets sont des entiers positifs ou nuls.

Récapitulatif

Une solution d'une équation ou inéquation à trois inconnues est un triplet \((x ; y ; z)\) qui la rend vraie.
Système triangulaire : on trouve la dernière inconnue, puis on remonte.
Substitutions successives : isoler une inconnue, la remplacer dans les deux autres équations, puis résoudre le système à deux inconnues obtenu.
Problème : une équation (ou inéquation) par information, puis vérification dans l'énoncé.
Inéquations : un triplet admissible vérifie toutes les contraintes ; multiplier par un négatif inverse le sens.

Triplet solution

Un \((x ; y ; z)\) qui vérifie toutes les équations ou inéquations du système.

Système triangulaire

Chaque équation a une inconnue de moins : on résout en remontant.

Substitutions successives

Isoler une inconnue, la remplacer dans les autres équations, passer à deux inconnues.

Triplet admissible

Il respecte toutes les contraintes (inéquations) à la fois.

Multiplier par un négatif

Le sens de l'inégalité s'inverse : \(-x \leqslant -2 \iff x \geqslant 2\).