Équations et Inéquations : Applications à la Résolution de Problèmes

1. Introduction

Les équations et inéquations sont des outils essentiels en mathématiques pour modéliser et résoudre des problèmes concrets, notamment en physique, économie ou vie courante.

2. Rappels fondamentaux

2.1. Équations

Une équation est une égalité contenant une ou plusieurs inconnues, par exemple :
\( 2x + 3 = 7 \).

Pour la résoudre, on cherche la valeur de \( x \) qui vérifie cette égalité :

2x + 3 = 7
- 3     - 3
2x = 4
x = 2

2.2. Inéquations

Une inéquation est une expression d'inégalité, par exemple :
\( x - 4 > 1 \).

On cherche toutes les valeurs de \( x \) qui vérifient cette relation :

x - 4 > 1
+ 4   + 4
x > 5

3. Applications à la résolution de problèmes

3.1. Étape 1 : Analyser le problème

Lire attentivement l'énoncé pour identifier la quantité inconnue et la situation modélisée.

3.2. Étape 2 : Traduire la situation en équation ou inéquation

Exprimer la situation à l’aide d’une expression mathématique avec une variable (souvent \( x \)).

3.3. Étape 3 : Résoudre l’équation ou l’inéquation

Effectuer les opérations pour trouver la ou les valeurs possibles de la variable.

3.4. Étape 4 : Vérifier et interpréter

Vérifier la solution dans le contexte et répondre à la question posée.

4. Exemple pratique

Un magasin vend des pommes à 2 € l'unité. Le prix total \( P \) en euros en fonction du nombre de pommes \( x \) est :
\[ P = 2x \].

On veut acheter au maximum 10 € de pommes :

2x ≤ 10
x ≤ 5

Donc, on peut acheter au maximum 5 pommes.