Équations et inéquations dans ℝ : carrés, valeur absolue, quotients et problèmes

Au-delà du premier degré, beaucoup d'équations et d'inéquations se résolvent en factorisant, en utilisant la valeur absolue comme une distance, ou en étudiant le signe d'un quotient ; et toutes servent à résoudre des problèmes concrets.

Objectifs

Résoudre des équations du type \(x^2 = a\) et des équations qui se factorisent grâce aux identités remarquables.
Résoudre des équations et inéquations avec une valeur absolue en pensant « distance ».
Résoudre une inéquation quotient en se ramenant à une comparaison avec \(0\).
Mettre un problème en équation ou en inéquation et interpréter la solution.

1. Équations avec des carrés

L'équation \(x^2 = a\)

Exemples : \(x^2 = 9\) donne \(S = \{-3 ; 3\}\) ; \(x^2 = 5\) donne \(S = \{-\sqrt{5} ; \sqrt{5}\}\) ; \(x^2 = -4\) donne \(S = \varnothing\).

Factoriser pour se ramener au produit nul

On rappelle : \(A \times B = 0\) si et seulement si \(A = 0\) ou \(B = 0\). Les identités remarquables aident à factoriser :

\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \qquad a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \qquad a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\]

Exemple résolu 1

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : a) \(4x^2 - 9 = 0\) ; b) \((2x-1)^2 = 25\) ; c) \(x^2 - 6x + 9 = 0\).

Voir la solution

a) \(4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)\). Donc \(2x - 3 = 0\) ou \(2x + 3 = 0\), soit \(S = \left\{-\frac{3}{2} ; \frac{3}{2}\right\}\).

b) Un carré égal à \(25\) : \(2x - 1 = 5\) ou \(2x - 1 = -5\), donc \(x = 3\) ou \(x = -2\). \(S = \{-2 ; 3\}\).

c) \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). Un carré est nul seulement si ce qui est au carré est nul : \(x = 3\), \(S = \{3\}\).

Exemple résolu 2 : le facteur commun caché

Résoudre \((x-2)(3x+1) - (x-2)(x+5) = 0\).

Voir la solution

Étape 1 : on met \((x-2)\) en facteur : \((x-2)\big[(3x+1) - (x+5)\big] = (x-2)(2x - 4)\).

Étape 2 : \(2x - 4 = 2(x-2)\), donc l'équation s'écrit \(2(x-2)^2 = 0\).

Étape 3 : \(x - 2 = 0\), donc \(S = \{2\}\).

Combien de solutions réelles a l'équation x² + 16 = 0 ?

Deux : 4 et -4
Une : 4
Aucune

L'équation s'écrit x² = -16. Un carré est toujours positif ou nul, il ne peut pas valoir -16 : il n'y a aucune solution réelle.

2. Valeur absolue : penser « distance »

La valeur absolue d'un nombre \(x\), notée \(|x|\), est sa distance à \(0\) : \(|x| = x\) si \(x \ge 0\) et \(|x| = -x\) si \(x \lt 0\). Plus généralement, \(|x - a|\) est la distance entre les points d'abscisses \(x\) et \(a\) sur une droite graduée.

Exemple résolu 3

Résoudre : a) \(|x - 2| = 5\) ; b) \(|x - 3| \le 2\) ; c) \(|x + 2| \gt 4\) ; d) \(|x + 1| = |x - 3|\).

Voir la solution

a) Les points à distance \(5\) de \(2\) : \(x = 2 - 5 = -3\) ou \(x = 2 + 5 = 7\). \(S = \{-3 ; 7\}\).

b) Les points à distance au plus \(2\) de \(3\) : \(1 \le x \le 5\), donc \(S = [1 ; 5]\) (voir la figure).

c) \(|x + 2| = |x - (-2)|\) : distance à \(-2\) strictement supérieure à \(4\). Donc \(x \lt -6\) ou \(x \gt 2\) : \(S = \left]-\infty ; -6\right[ \cup \left]2 ; +\infty\right[\).

d) \(x\) est à égale distance de \(-1\) et de \(3\) : c'est le milieu, \(x = \frac{-1 + 3}{2} = 1\). Vérification : \(|1 + 1| = 2\) et \(|1 - 3| = 2\). \(S = \{1\}\).

L'ensemble des solutions de |x - 1| inférieur ou égal à 4 est :

[1 ; 4]
[-3 ; 5]
[-4 ; 4]

Ce sont les points à distance au plus 4 de 1 : de 1 - 4 = -3 jusqu'à 1 + 4 = 5.

3. Équations et inéquations quotients

Équation quotient

\(\frac{A}{B} = 0\) si et seulement si \(A = 0\) et \(B \neq 0\). Pour une équation \(\frac{A}{B} = C\), on écarte les valeurs qui annulent \(B\), puis on se ramène à une équation sans dénominateur.

Exemple résolu 4

Résoudre \(\frac{2x - 1}{x + 3} = 1\).

Voir la solution

Étape 1 : valeur interdite : \(x + 3 = 0\) pour \(x = -3\). On travaille avec \(x \neq -3\).

Étape 2 : pour \(x \neq -3\), l'équation équivaut à \(2x - 1 = x + 3\), soit \(x = 4\).

Étape 3 : \(4 \neq -3\), la solution est acceptée : \(S = \{4\}\). Vérification : \(\frac{2 \times 4 - 1}{4 + 3} = \frac{7}{7} = 1\).

Inéquation quotient : le tableau de signes

On fait tout passer dans un même membre pour comparer à \(0\), on réduit au même dénominateur, puis on étudie le signe du numérateur et du dénominateur dans un tableau.

Exemple résolu 5

Résoudre \(\frac{x + 3}{2 - x} \ge 0\).

Voir la solution

Étape 1 : \(x + 3 = 0\) pour \(x = -3\) ; \(2 - x = 0\) pour \(x = 2\) (valeur interdite).

Étape 2 : \(x + 3\) est négatif avant \(-3\), positif après ; \(2 - x\) est positif avant \(2\), négatif après.

Étape 3 : le quotient est négatif sur \(\left]-\infty ; -3\right[\), positif sur \(\left]-3 ; 2\right[\), négatif sur \(\left]2 ; +\infty\right[\) ; il vaut \(0\) en \(-3\).

Étape 4 : on veut \(\ge 0\) : on garde \(-3\) mais jamais \(2\). \(S = \left[-3 ; 2\right[\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-3\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(x + 3\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(2 - x\)		\(+\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
quotient		\(-\)	\(0\)	\(+\)	\|\|	\(-\)

Exemple résolu 6 : le piège du « produit en croix »

Résoudre \(\frac{x - 1}{x + 2} \lt 1\).

Voir la solution

Étape 1 : valeur interdite \(x = -2\). On compare à \(0\) : \(\frac{x - 1}{x + 2} - 1 \lt 0\).

Étape 2 : même dénominateur : \(\frac{x - 1 - (x + 2)}{x + 2} = \frac{-3}{x + 2} \lt 0\).

Étape 3 : le numérateur \(-3\) est toujours négatif ; le quotient est négatif quand \(x + 2 \gt 0\), soit \(x \gt -2\).

Étape 4 : \(S = \left]-2 ; +\infty\right[\).

Pourquoi la valeur 2 est-elle exclue de l'ensemble des solutions de (x + 3)/(2 - x) supérieur ou égal à 0 ?

Parce qu'elle annule le dénominateur
Parce que le quotient y est négatif
Parce que l'inégalité est stricte

En x = 2, le dénominateur 2 - x vaut 0 : le quotient n'existe pas. Une valeur interdite n'est jamais solution, même avec une inégalité large.

4. Mettre un problème en équation ou en inéquation

Méthode : 1) choisir l'inconnue et dire ce qu'elle représente ; 2) traduire l'énoncé ; 3) résoudre ; 4) vérifier que la solution a un sens dans le problème ; 5) répondre par une phrase.

Exemple résolu 7 : deux forfaits (tarifs imaginaires)

L'offre A coûte \(3\,000\) F CFA par mois plus \(25\) F CFA par minute d'appel ; l'offre B coûte \(75\) F CFA par minute, sans abonnement. Pour quelles durées d'appel l'offre B est-elle strictement moins chère ?

Voir la solution

Étape 1 : soit \(x\) le nombre de minutes d'appel dans le mois (\(x \ge 0\)).

Étape 2 : coût A : \(3\,000 + 25x\) ; coût B : \(75x\). On cherche \(75x \lt 3\,000 + 25x\).

Étape 3 : \(50x \lt 3\,000\), donc \(x \lt 60\).

Étape 4 : avec \(x \ge 0\), l'offre B est moins chère pour moins de \(60\) minutes par mois. À \(60\) minutes, les deux offres coûtent \(4\,500\) F CFA.

Exemple résolu 8 : le terrain rectangulaire

Un terrain rectangulaire a une longueur qui dépasse sa largeur de \(5\) m, et une aire de \(84\ \text{m}^2\). Quelles sont ses dimensions ?

Voir la solution

Étape 1 : soit \(x\) la largeur en mètres (\(x \gt 0\)) ; la longueur vaut \(x + 5\).

Étape 2 : \(x(x + 5) = 84\), soit \(x^2 + 5x - 84 = 0\).

Étape 3 : on vérifie en développant que \((x - 7)(x + 12) = x^2 + 12x - 7x - 84 = x^2 + 5x - 84\). L'équation devient \((x - 7)(x + 12) = 0\), donc \(x = 7\) ou \(x = -12\).

Étape 4 : une largeur est positive : on garde \(x = 7\). Le terrain mesure \(7\) m sur \(12\) m (et \(7 \times 12 = 84\)).

Fatou vend des beignets à 50 F CFA pièce et a dépensé 4 000 F CFA d'ingrédients. Quelle inéquation traduit « elle fait un bénéfice » avec x beignets vendus ?

50x supérieur ou égal à 4 000 + x
50x supérieur à 4 000
x supérieur à 50

Le bénéfice est positif quand la recette 50x dépasse la dépense 4 000 : 50x supérieur à 4 000, soit plus de 80 beignets vendus.

Erreurs fréquentes

Oublier la solution négative : \(x^2 = 9\) a deux solutions, \(3\) et \(-3\).
Diviser par une expression contenant \(x\) et perdre des solutions.
Écrire \(|x - 3| \le 2\) équivaut à \(x \le 5\) seulement : il faut aussi \(x \ge 1\).
Garder une valeur interdite dans l'ensemble des solutions.
Multiplier une inéquation par une expression de signe inconnu.
Oublier de vérifier que la solution a un sens dans le problème (longueur négative, nombre de personnes non entier…).

Récapitulatif

\(x^2 = a\) : deux solutions si \(a \gt 0\), une si \(a = 0\), aucune si \(a \lt 0\).
Factoriser (facteur commun, identités remarquables) puis appliquer la règle du produit nul.
\(|x - a|\) est une distance : \(|x - a| \le r\) donne \([a - r ; a + r]\).
Quotient : écarter les valeurs interdites, comparer à \(0\), tableau de signes.
Problème : inconnue, mise en équation, résolution, vérification du sens, phrase réponse.

x² = a avec a positif

Deux solutions : racine de a et moins racine de a.

Valeur absolue de x - a

Distance entre x et a sur la droite graduée.

|x - a| inférieur ou égal à r

x appartient à l'intervalle fermé de a - r à a + r.

Valeur interdite

Valeur qui annule un dénominateur : jamais solution.

Inéquation quotient

Tout passer d'un côté, comparer à 0, tableau de signes.