Équations et inéquations dans ℝ : la balance, le produit nul et les intervalles

Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs qui équilibrent une balance ; résoudre une inéquation, c'est trouver toute une zone de valeurs qui font pencher la balance du bon côté, et on l'écrit avec un intervalle.

Objectifs

Résoudre une équation qui se ramène au premier degré.
Utiliser la règle du produit nul et résoudre une équation quotient en excluant les valeurs interdites.
Résoudre une inéquation du premier degré et écrire l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.
Résoudre une inéquation produit à l'aide d'un tableau de signes.

1. Équation et balance : le vocabulaire

Une équation est une égalité qui contient une lettre inconnue, souvent \(x\). Une solution est une valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les solutions ; on note \(S\) l'ensemble des solutions.

La situation de Mama Akissi s'écrit \(x + 1 = 3\), et \(S = \{2\}\).

Exemple résolu

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(5x - 4 = 2x + 11\).

Voir la solution

Étape 1 : on retire \(2x\) des deux côtés : \(3x - 4 = 11\).

Étape 2 : on ajoute \(4\) des deux côtés : \(3x = 15\).

Étape 3 : on divise par \(3\) : \(x = 5\). Vérification : \(5 \times 5 - 4 = 21\) et \(2 \times 5 + 11 = 21\). Donc \(S = \{5\}\).

2. Équations produit nul et équations quotient

La règle du produit nul

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :

\[ A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 \]

Exemple résolu 1

Résoudre \((2x - 6)(x + 5) = 0\).

Voir la solution

Étape 1 : c'est un produit nul, donc \(2x - 6 = 0\) ou \(x + 5 = 0\).

Étape 2 : \(2x = 6\) donne \(x = 3\) ; \(x + 5 = 0\) donne \(x = -5\).

Étape 3 : \(S = \{-5\,;\,3\}\).

Exemple résolu 2 : il faut d'abord factoriser

Résoudre \(x^2 = 4x\).

Voir la solution

Étape 1 : on ramène tout dans un membre : \(x^2 - 4x = 0\).

Étape 2 : on factorise par \(x\) : \(x(x - 4) = 0\).

Étape 3 : produit nul : \(x = 0\) ou \(x = 4\). Donc \(S = \{0\,;\,4\}\).

Les équations quotient

Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul et son dénominateur n'est pas nul :

\[ \frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \ \text{ et } \ B \neq 0 \]

Les valeurs qui annulent le dénominateur sont des valeurs interdites : on les cherche en premier.

Exemple résolu 3

Résoudre \(\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = 0\).

Voir la solution

Étape 1 : valeur interdite : \(x - 1 = 0\) pour \(x = 1\). On travaille donc avec \(x \neq 1\).

Étape 2 : numérateur nul : \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) = 0\), donc \(x = 1\) ou \(x = -1\).

Étape 3 : on élimine \(1\), interdite. Il reste \(S = \{-1\}\).

Quel est l'ensemble des solutions de \((x - 7)(3x + 9) = 0\) ?

\(\{7\,;\,3\}\)
\(\{-7\,;\,3\}\)
\(\{-3\,;\,7\}\)

\(x - 7 = 0\) donne \(x = 7\) ; \(3x + 9 = 0\) donne \(3x = -9\), soit \(x = -3\).

3. Inéquations du premier degré et intervalles

Une inéquation est une inégalité (\(<\), \(>\), \(\le\), \(\ge\)) qui contient une inconnue. Ses solutions forment en général un intervalle.

Inégalité	Intervalle	Lecture
\(x \ge 2\)	\([2\,;+\infty[\)	2 compris
\(x > 2\)	\(]2\,;+\infty[\)	2 exclu
\(x \le -1\)	\(]-\infty\,;-1]\)	\(-1\) compris
\(-1 < x \le 4\)	\(]-1\,;4]\)	\(-1\) exclu, 4 compris

Pourquoi ? On sait que \(2 < 5\). En multipliant par \(-1\), on obtient \(-2\) et \(-5\) : or \(-2 > -5\). Le sens s'est retourné, comme une image dans un miroir.

Exemple résolu 4

Résoudre \(-3x + 7 \le 1\) et représenter les solutions.

Voir la solution

Étape 1 : on retire \(7\) : \(-3x \le -6\).

Étape 2 : on divise par \(-3\), nombre négatif : le sens s'inverse. \(x \ge \dfrac{-6}{-3}\), soit \(x \ge 2\).

Étape 3 : \(S = [2\,;+\infty[\). Contrôle : pour \(x = 3\), \(-9 + 7 = -2 \le 1\) : vrai.

Voir le signe sur un graphique

Une expression \(ax + b\) est représentée par une droite. Les solutions de \(ax + b > 0\) sont les abscisses où la droite est au-dessus de l'axe des abscisses. Bouge les curseurs : quand \(a\) devient négatif, la zone positive passe à gauche, c'est l'inversion du sens.

Quel est l'ensemble des solutions de \(-2x > 8\) ?

\(]-\infty\,;-4[\)
\(]-4\,;+\infty[\)
\(]4\,;+\infty[\)

On divise par \(-2\), négatif : le sens s'inverse et \(x < -4\). La valeur \(-4\) est exclue car l'inégalité est stricte.

4. Inéquations produit : le tableau de signes

Le facteur \(ax + b\) (avec \(a \neq 0\)) s'annule en \(x = -\dfrac{b}{a}\) ; il a le signe de \(a\) à droite de cette valeur et le signe contraire à gauche.

Exemple résolu 5

Résoudre \((x - 1)(3 - x) > 0\).

Voir la solution

Étape 1 : chaque facteur s'annule : \(x - 1 = 0\) pour \(x = 1\) ; \(3 - x = 0\) pour \(x = 3\).

Étape 2 : \(x - 1\) a pour coefficient \(a = 1 > 0\) : négatif avant 1, positif après. \(3 - x\) a pour coefficient \(a = -1 < 0\) : positif avant 3, négatif après.

Étape 3 : on remplit le tableau de signes ci-dessous et on applique la règle des signes.

Étape 4 : le produit est strictement positif entre 1 et 3, bornes exclues : \(S = ]1\,;3[\).

\(x\)	\(-\infty\) à \(1\)	\(1\)	\(1\) à \(3\)	\(3\)	\(3\) à \(+\infty\)
\(x - 1\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)		\(+\)
\(3 - x\)	\(+\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
Produit	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)

Exemple résolu 6 : un problème concret

Fatou vend des beignets 50 F CFA pièce. Chaque beignet lui coûte 20 F CFA d'ingrédients, et elle paie chaque jour 3 000 F CFA de frais fixes (place, charbon). Combien de beignets doit-elle vendre pour faire un bénéfice ?

Voir la solution

Étape 1 : on note \(x\) le nombre de beignets vendus. Recette : \(50x\) ; dépenses : \(20x + 3000\).

Étape 2 : bénéfice positif : \(50x - (20x + 3000) > 0\), soit \(30x - 3000 > 0\).

Étape 3 : \(30x > 3000\), donc \(x > 100\) (on divise par 30, positif : le sens ne change pas).

Étape 4 : à 100 beignets, elle rentre juste dans ses frais. Elle doit en vendre au moins 101 pour gagner de l'argent.

Sur quel intervalle le produit \((x + 2)(x - 5)\) est-il négatif ou nul ?

\(]-\infty\,;-2] \cup [5\,;+\infty[\)
\([-2\,;5]\)
\(]-2\,;5[\)

Les deux facteurs ont un coefficient positif : ils sont de signes contraires entre \(-2\) et \(5\), donc le produit y est négatif ; il vaut 0 en \(-2\) et en \(5\), bornes comprises.

Erreurs fréquentes

Récapitulatif

Équation : on garde l'équilibre en faisant la même opération des deux côtés (multiplication par un nombre non nul).
\(A \times B = 0 \iff A = 0\) ou \(B = 0\) ; \(\dfrac{A}{B} = 0 \iff A = 0\) et \(B \neq 0\).
Inéquation : mêmes règles, mais le sens s'inverse si l'on multiplie ou divise par un négatif ; les solutions s'écrivent en intervalles.
Inéquation produit : tableau de signes, puis lecture des zones qui conviennent.

Cartes mémo

Règles de la balance

Même ajout aux deux membres ; même multiplication par un nombre non nul.

Produit nul

\(A \times B = 0\) si et seulement si \(A = 0\) ou \(B = 0\).

Quotient nul

\(\frac{A}{B} = 0\) si et seulement si \(A = 0\) et \(B \neq 0\).

Multiplier une inéquation par un négatif

Le sens de l'inégalité s'inverse.

Signe de \(ax + b\)

Signe de \(a\) à droite de \(-\frac{b}{a}\), signe contraire à gauche.