Introduction

Les systèmes d'équations à deux inconnues rassemblent deux équations avec deux variables, souvent notées x et y. La résolution consiste à déterminer les couples (x, y) qui vérifient ces deux équations simultanément.

Méthodes de résolution

1. La substitution

Cette méthode consiste à isoler une variable dans une équation, puis à la remplacer dans l'autre équation.

1. Isoler une variable (par exemple, y) dans une équation :
   Si l’équation 1 est y = 2x + 3, c’est une substitution directe.
2. Remplacer cette expression dans la deuxième équation :
3. Résoudre l’équation obtenue (en une seule variable).
4. Rechercher la valeur de l’autre variable en remplaçant dans l’équation initiale.

2. La combinaison (ou méthode d’addition)

Elle consiste à ajuster les deux équations pour éliminer une inconnue en faisant la somme ou la différence des équations.

1. Aligner les deux équations.
2. Multiplier l’une ou l’autre pour avoir des coefficients identiques mais de signes opposés de l’une des variables.
3. Ajouter ou soustraire les équations pour éliminer cette variable.
4. Résoudre l’équation obtenue.
5. Remplacer dans l’une des équations initiales pour trouver l’autre variable.

Exemple d’application

Problème :

Résoudre le système :

• 2x + y = 7
• x - y = 1

Solution par substitution :

1. Isoler x dans la deuxième équation :
   x = y + 1
2. Remplacer dans la première :
   2(y + 1) + y = 7
3. Développer :
   2y + 2 + y = 7
4. Regrouper :
   3y + 2 = 7
5. Résoudre pour y :
   3y = 5
   y = rac{5}{3}
6. Trouver x :
   x = rac{5}{3} + 1 = rac{8}{3}

Solution :

Le couple solution est (x, y) = (rac{8}{3}, rac{5}{3}).

Conclusion

Les méthodes de substitution et combinaison sont efficaces pour résoudre tout système d’équations linéaires à deux inconnues. La sélection de la méthode dépend du système donné et de sa simplicité.