Introduction

Les équations et inéquations sont des expressions mathématiques dont l'objectif est de déterminer les valeurs de la variable qui les satisfont. La résolution peut être faite de deux manières : graphiquement et algébriquement.

1. Résolution graphique

a. Principe

Tracer la courbe de la fonction associée et identifier l'intersection avec la droite représentant le membre de l'équation ou de l'inéquation.

b. Exemple

Résoudre \( y = x^2 \) et trouver où elle coupe la droite \( y = 4 \).

• Tracer la parabole \( y = x^2 \).
• Tracer la droite \( y = 4 \).
• Les solutions sont les abscisses des points d'intersection, ici \( x = -2 \) et \( x = 2 \).

2. Résolution algébrique

a. Méthode

Pour résoudre une équation \( f(x) = 0 \), on cherche les valeurs de \( x \) telles que l'expression soit nulle.

Pour une inéquation, par exemple \( f(x) < 0 \), on recherche les intervalles où le signe de \( f(x) \) est négatif.

b. Exemple

Résoudre l'équation \( x^2 - 4 = 0 \).

• Factoriser : \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
• Poser \( (x - 2)(x + 2) = 0 \), donc \( x = 2 \) ou \( x = -2 \).

Pour l'inéquation \( x^2 - 4 < 0 \), le résultat est \( -2 < x < 2 \).

c. Résumé des étapes

1. Factoriser si possible.
2. Rechercher les racines (pour les équations).
3. Analyser le signe de la fonction en utilisant un tableau de signe.
4. Déduire la solution dans l'ensemble des réels.

Conclusion

Les méthodes graphique et algébrique sont complémentaires. La résolution graphique est intuitive mais moins précise, tandis que la méthode algébrique permet un résultat exact. La maîtrise des deux approches facilite la compréhension des solutions d’équations et d’inéquations.