Équations et inéquations dans ℝ : transformations équivalentes, doubles inéquations et cas particuliers

Résoudre, c'est transformer pas à pas une équation ou une inéquation en une autre qui a exactement les mêmes solutions, jusqu'à lire l'ensemble \(S\) ; une seule règle change pour les inéquations : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens.

Objectifs

Connaître les transformations qui conservent les solutions d'une équation et d'une inéquation (transformations « équivalentes »).
Résoudre pas à pas une équation ou une inéquation du premier degré, même avec des fractions.
Reconnaître les cas particuliers : aucune solution (\(S = \varnothing\)) ou tous les réels (\(S = \mathbb{R}\)).
Résoudre une double inéquation et un système de deux inéquations, et représenter la solution sur une droite graduée.
Vérifier une solution en la remplaçant dans l'énoncé de départ.

1. Les règles du jeu pour les équations

Résoudre une équation d'inconnue \(x\), c'est trouver l'ensemble \(S\) de tous les réels qui la vérifient. La méthode pas à pas pour le premier degré :

Supprimer les dénominateurs en multipliant par leur plus petit multiple commun.
Développer et réduire chaque membre.
Regrouper les termes en \(x\) d'un côté, les nombres de l'autre.
Diviser par le coefficient de \(x\) (s'il n'est pas nul).
Vérifier dans l'équation de départ, puis écrire \(S\).

Exemple résolu 1 : une équation avec des fractions

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \[\frac{x-1}{3} - \frac{x+2}{4} = 1.\]

Étape 1 : le plus petit multiple commun de \(3\) et \(4\) est \(12\). On multiplie les deux membres par \(12\) : \[4(x-1) - 3(x+2) = 12.\]

Étape 2 : on développe en faisant attention au signe moins devant la parenthèse : \[4x - 4 - 3x - 6 = 12, \quad \text{soit} \quad x - 10 = 12.\]

Étape 3 : on ajoute \(10\) aux deux membres : \(x = 22\).

Étape 4 : vérification : \(\frac{22-1}{3} - \frac{22+2}{4} = \frac{21}{3} - \frac{24}{4} = 7 - 6 = 1\). C'est juste : \(S = \{22\}\).

Exemple résolu 2 : quand l'inconnue disparaît

Résoudre a) \(2(x+3) = 2x + 6\) ; b) \(2(x+3) = 2x + 5\).

Voir la solution

a) \(2x + 6 = 2x + 6\). En retirant \(2x\) des deux côtés : \(6 = 6\), toujours vrai. Tout réel convient : \(S = \mathbb{R}\).

b) \(2x + 6 = 2x + 5\). En retirant \(2x\) : \(6 = 5\), toujours faux. Aucun réel ne convient : \(S = \varnothing\).

Exemple résolu 3 : le piège de la division par \(x\)

Résoudre \(x^2 = 3x\).

Tentation : « je divise par \(x\) » et je trouve \(x = 3\). Mais diviser par \(x\) n'est permis que si \(x \neq 0\) : on risque de perdre une solution.

Bonne méthode : tout passer d'un côté, \(x^2 - 3x = 0\), puis factoriser : \(x(x - 3) = 0\).

Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul : \(x = 0\) ou \(x = 3\). Donc \(S = \{0\,;\,3\}\) : la solution \(0\) avait disparu avec la division.

Quel est l'ensemble des solutions de 3(x − 2) = 3x − 6 ?

S = {0}
S = ∅
S = ℝ

En développant, on obtient 3x − 6 = 3x − 6, puis −6 = −6, toujours vrai : tous les réels sont solutions.

2. Inéquations du premier degré, pas à pas

Exemple résolu 4 : le budget d'Aïcha

Inéquation : \(800 + 150n \leqslant 5\,000\).

On retire \(800\) des deux membres : \(150n \leqslant 4\,200\).

On divise par \(150\), qui est positif, donc le sens ne change pas : \(n \leqslant 28\).

\(n\) est un nombre entier de stylos : Aïcha peut en acheter 28 au plus. Vérification : \(800 + 150 \times 28 = 800 + 4\,200 = 5\,000\) F CFA, tout juste.

Exemple résolu 5 : diviser par un nombre négatif

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(3 - 2x \geqslant 5x - 11\).

On regroupe les \(x\) à gauche et les nombres à droite : \(-2x - 5x \geqslant -11 - 3\), soit \(-7x \geqslant -14\).

On divise par \(-7\), qui est négatif : le sens s'inverse. \[x \leqslant \frac{-14}{-7}, \quad \text{soit} \quad x \leqslant 2.\]

Contrôle avec deux valeurs : pour \(x = 0\), \(3 \geqslant -11\) est vrai ; pour \(x = 3\), \(-3 \geqslant 4\) est faux. Cohérent.

Conclusion : \(S = \left]-\infty\,;\,2\right]\). Le crochet est fermé en \(2\) car l'inégalité est large (pour \(x = 2\), les deux membres valent \(-1\)).

Exemple résolu 6 : avec des fractions

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \[\frac{x}{2} - \frac{2x-1}{3} \lt 1.\]

Cherche d'abord, puis vois la solution

On multiplie par \(6\) (positif, le sens reste) : \(3x - 2(2x - 1) \lt 6\), soit \(3x - 4x + 2 \lt 6\), donc \(-x \lt 4\).

On multiplie par \(-1\) (négatif, le sens s'inverse) : \(x \gt -4\). Donc \(S = \left]-4\,;\,+\infty\right[\).

Contrôle : pour \(x = 0\), \(0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \lt 1\), vrai ; pour \(x = -4\), on trouve \(-2 + 3 = 1\), et \(1 \lt 1\) est faux : \(-4\) est bien exclu.

Exemple résolu 7 : une inéquation « déguisée »

Résoudre \((x+1)^2 \leqslant (x-2)^2\).

Voir la solution

On développe : \(x^2 + 2x + 1 \leqslant x^2 - 4x + 4\). Les \(x^2\) s'éliminent : \(6x \leqslant 3\), donc \(x \leqslant \frac{1}{2}\).

\(S = \left]-\infty\,;\,\frac{1}{2}\right]\). Contrôle : pour \(x = 0\), \(1 \leqslant 4\), vrai ; pour \(x = 1\), \(4 \leqslant 1\), faux.

On part de −4x > 12. Quelle est la bonne conclusion ?

x > −3
x < −3
x > 3

On divise par −4, qui est négatif : le sens s'inverse et 12 ÷ (−4) = −3. Donc x < −3.

3. Doubles inéquations et systèmes d'inéquations

Exemple résolu 8 : une double inéquation

Résoudre \(-3 \leqslant 2x + 1 \lt 7\).

On retire \(1\) aux trois membres : \(-4 \leqslant 2x \lt 6\).

On divise les trois membres par \(2\) (positif) : \(-2 \leqslant x \lt 3\).

\(S = \left[-2\,;\,3\right[\) : fermé en \(-2\) (inégalité large), ouvert en \(3\) (inégalité stricte).

Exemple résolu 9 : double inéquation avec un coefficient négatif

Résoudre \(1 \lt 5 - 2x \leqslant 9\).

Cherche d'abord, puis vois la solution

On retire \(5\) aux trois membres : \(-4 \lt -2x \leqslant 4\).

On divise par \(-2\) : les deux signes s'inversent : \(2 \gt x \geqslant -2\), c'est-à-dire \(-2 \leqslant x \lt 2\).

\(S = \left[-2\,;\,2\right[\). Contrôle : pour \(x = -2\), \(5 + 4 = 9 \leqslant 9\), vrai ; pour \(x = 2\), \(5 - 4 = 1\) et \(1 \lt 1\) est faux.

Exemple résolu 10 : un système de deux inéquations

Trouver les réels \(x\) tels que \(2x - 1 \gt 3\) et \(x + 4 \leqslant 10\).

Première inéquation : \(2x \gt 4\), donc \(x \gt 2\). On colorie à droite de \(2\), avec un rond vide car \(2\) est exclu.

Seconde inéquation : \(x \leqslant 6\). On colorie à gauche de \(6\), avec un rond plein car \(6\) est inclus.

On garde la partie coloriée deux fois : \(S = \left]2\,;\,6\right]\).

Quel est l'ensemble des solutions de 0 ≤ x − 3 < 4 ?

[3 ; 7[
]3 ; 7]
[−3 ; 1[

On ajoute 3 aux trois membres : 3 ≤ x < 7. La borne 3 est incluse (≤), la borne 7 est exclue (<).

Quels réels vérifient à la fois x > 5 et x < 1 ?

]1 ; 5[
ℝ
Aucun : S = ∅

Les deux parties coloriées ne se chevauchent pas : aucun nombre n'est à la fois plus grand que 5 et plus petit que 1.

Erreurs fréquentes

Multiplier un seul terme : en chassant les dénominateurs, chaque terme des deux membres doit être multiplié, y compris le nombre seul (dans l'exemple 1, le \(1\) devient \(12\)).
Le signe moins devant une parenthèse : \(-3(x + 2) = -3x - 6\), et non \(-3x + 6\).
Diviser par \(x\) : on perd la solution \(x = 0\). On factorise plutôt.
Mauvais crochets : inégalité stricte = crochet ouvert ; inégalité large = crochet fermé ; jamais de crochet fermé en \(\pm\infty\).
Conclure trop vite : \(0 = 0\) signifie \(S = \mathbb{R}\), et \(6 = 5\) signifie \(S = \varnothing\) ; ce n'est pas « \(x = 0\) ».
Oublier le contexte : un nombre de stylos est un entier positif ; on adapte la réponse à la situation.

Récapitulatif

On résout en enchaînant des transformations équivalentes : ajouter le même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser par un même nombre non nul.
Pour une inéquation, multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens.
Cas particuliers : une égalité toujours vraie donne \(S = \mathbb{R}\) ; toujours fausse, \(S = \varnothing\).
Double inéquation : même opération sur les trois membres. Système : intersection des solutions.
On vérifie toujours avec une ou deux valeurs, dans l'énoncé de départ.

Transformation équivalente

Opération faite sur les deux membres qui ne change pas l'ensemble des solutions.

Diviser une inéquation par un négatif

Le sens de l'inégalité s'inverse.

S = ℝ ou S = ∅

L'inconnue disparaît : égalité toujours vraie (tous les réels) ou toujours fausse (aucun réel).

Double inéquation

On applique la même transformation aux trois membres.

Système d'inéquations

On résout chacune, puis on garde l'intersection des solutions.

Crochet ouvert ou fermé

Stricte (< ou >) : ouvert. Large (≤ ou ≥) : fermé. Toujours ouvert en l'infini.