Objectifs

• Reconnaître une équation du premier degré à une inconnue et la ramener à la forme \(ax + b = 0\).
• Isoler l'inconnue avec les deux règles de la balance, y compris avec des parenthèses et des fractions.
• Repérer les cas particuliers : aucune solution ou une infinité de solutions.
• Vérifier systématiquement une solution en la remplaçant dans l'équation de départ.
• Traduire un problème simple de la vie courante en équation, le résoudre et répondre par une phrase.

1. Une équation, c'est une balance en équilibre

Vocabulaire

• Une équation est une égalité qui contient une lettre inconnue, par exemple \(x\).
• Le côté gauche du signe « = » est le premier membre, le côté droit le second membre.
• Une solution est une valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie. Résoudre, c'est trouver toutes les solutions.
• Une équation est du premier degré quand l'inconnue n'apparaît qu'à la puissance 1 (pas de \(x^2\), pas de \(\frac{1}{x}\)). Après simplification, elle s'écrit \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\).

Les deux règles de la balance

1. On peut ajouter ou soustraire le même nombre (ou la même expression) aux deux membres.
2. On peut multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul.

Ces opérations donnent une équation qui a exactement les mêmes solutions : on dit qu'elle est équivalente. En les appliquant à \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\) :

2. Techniques de résolution

Méthode générale

1. Développer s'il y a des parenthèses ; chasser les dénominateurs en multipliant tout par un multiple commun.
2. Regrouper les termes en \(x\) dans un membre et les nombres dans l'autre (règle 1).
3. Réduire chaque membre pour obtenir \(ax = c\).
4. Diviser par \(a\) si \(a \neq 0\) (règle 2).
5. Vérifier en remplaçant dans l'équation de départ, puis conclure.

Exemple résolu 1 : l'inconnue des deux côtés

Résoudre \(5x - 7 = 3x + 9\).

Exemple résolu 2 : avec des parenthèses

Résoudre \(3(x - 2) - 2(x + 1) = 4\). Cherche d'abord, puis ouvre la solution.

Exemple résolu 3 : avec des fractions

Résoudre \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 10\).

Les cas particuliers : quand \(x\) disparaît

Parfois, en regroupant, les \(x\) s'annulent. On obtient alors une égalité entre deux nombres.

• \(2(x + 3) = 2x + 5\) donne \(2x + 6 = 2x + 5\), puis \(6 = 5\) : c'est faux quelle que soit la valeur de \(x\). L'équation n'a aucune solution.
• \(2(x + 3) = 2x + 6\) donne \(6 = 6\) : c'est toujours vrai. Tout nombre réel est solution.

Ce que l'on voit sur un graphique

Résoudre \(ax + b = 0\), c'est chercher l'abscisse du point où la droite d'équation \(y = ax + b\) coupe l'axe des abscisses. Bouge les curseurs : avec \(a = 2\) et \(b = -6\), la droite coupe l'axe en \(x = 3\), car \(-\frac{-6}{2} = 3\). Avec \(a = 0\), la droite est horizontale : elle ne coupe pas l'axe (aucune solution) ou elle est confondue avec lui (si \(b = 0\)).

3. Mettre un problème en équation

flowchart LR
  A[Choisir l inconnue] --> B[Traduire en equation]
  B --> C[Resoudre]
  C --> D[Verifier et repondre]

Exemple résolu 4 : le taxi-moto

Exemple résolu 5 : partager une somme

Kofi et Awa ont ensemble 4 500 F CFA. Kofi a 1 500 F CFA de plus qu'Awa. Combien chacun possède-t-il ?

Exemple résolu 6 : une question d'âge

Moussa a 14 ans et son père 42 ans. Dans combien d'années le père aura-t-il le double de l'âge de Moussa ?

4. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Une équation est une balance : on fait toujours la même opération des deux côtés.
• Méthode : développer, regrouper, réduire, diviser, vérifier.
• \(ax + b = 0\) avec \(a \neq 0\) a une seule solution : \(x = -\frac{b}{a}\).
• Si les \(x\) disparaissent : aucune solution (égalité fausse) ou infinité de solutions (égalité vraie).
• Un problème se résout en quatre temps : inconnue, équation, résolution, vérification et phrase réponse.