Équations linéaires (1er degré) - Niveau 2nde

Le cours présente les équations linéaires à une inconnue et leur résolution pas à pas, avec des exemples et des vérifications interactives.

Objectifs

Pouvoir résoudre une équation du premier degré à une inconnue sous différentes formes.
Connaître les règles de manipulation (addition/soustraction, multiplication/division par un nombre non nul).
Vérifier la solution par substitution et identifier les cas particuliers (aucune solution ou infinité de solutions).
Savoir présenter une résolution claire et structurée.

Notions clés

Notion: Équation du premier degré à une inconnue

Une équation du premier degré à une inconnue se présente généralement sous la forme \(a x + b = c\) avec \(a \neq 0\). En isolant l’inconnue \(x\), on obtient la solution \(x = \frac{c - b}{a}\).

Exemple résolu

Énoncé: Résoudre \(3x + 5 = 2x + 11\).

Étape 1: Regrouper les termes en \(x\) d'un côté: \(3x - 2x = 11 - 5\).

Étape 2: Simplifier: \(x = 6\).

Voir la solution

Solution: À partir de \(3x + 5 = 2x + 11\), on obtient \(3x - 2x = 11 - 5 \Rightarrow x = 6\).

Quel est \(x\) pour l'équation \(3x + 5 = 2x + 11\) ?

C'est 6 car \(3x - 2x = 11 - 5\) donne \(x = 6\).

Notion: Méthode générale de résolution

Pour une équation \(a x + b = c\) avec \(a \neq 0\), on isole \(x\) en opérant des substitutions et des réductions: \(x = \frac{c - b}{a}\) .

Exemple 2

Énoncé: Résoudre \(\tfrac{2}{3}x - \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{6}\).

Étape 1: Ajouter \(\tfrac{1}{4}\) des deux côtés: \(\tfrac{2}{3}x = \tfrac{5}{6} + \tfrac{1}{4}\).

Étape 2: Calculer le membre droit: \(\tfrac{5}{6} + \tfrac{1}{4} = \tfrac{10}{12} + \tfrac{3}{12} = \tfrac{13}{12}\).

Étape 3: Multiplier par l’inverse du coefficient de \(x\): \(x = \frac{13}{12} \div \tfrac{2}{3} = \frac{13}{12} \times \frac{3}{2} = \frac{39}{24} = \tfrac{13}{8}.

Voir la solution

Solution: En suivant les étapes, on obtient \(x = \tfrac{13}{8}\).

Quelle est la valeur de \(x\) trouvée?

\(\tfrac{13}{8}\)
\(\tfrac{8}{13}\)
\(\tfrac{13}{12}\)

C’est \(\tfrac{13}{8}\) après avoir isolé \(x\) et simplifié.

Schéma: idée générale d'une équation linéaire et sa solution

Cartes mémoire - Notions clés

Équation linéaire

Équation du premier degré en une inconnue: ax + b = c, avec a ≠ 0.

Inconnue

Variable à déterminer, notée généralement x.

Coefficients

a est le coefficient directeur du terme en x; b et c sont des constantes.

Méthode

Isoler x: \(x = \frac{c - b}{a}\) lorsque \(a \neq 0\).

Récapitulatif

Une équation du premier degré à une inconnue a la forme \(a x + b = c\) avec \(a \neq 0\).
Pour isoler \(x\), on transcende les termes en \(x\) et les constantes: on obtient \(x = \frac{c - b}{a}\).
Vérification: remplacer \(x\) par la valeur trouvée dans l’équation initiale doit donner des égalités valides.