Objectifs

• Reconnaître une équation du second degré \(ax^2 + bx + c = 0\) et identifier \(a\), \(b\), \(c\).
• Comprendre d'où vient le discriminant grâce à la forme canonique.
• Calculer \(\Delta\), en déduire le nombre de solutions et les calculer.
• Choisir entre discriminant et factorisation directe selon l'équation.
• Relier les solutions aux points d'intersection d'une parabole avec l'axe des abscisses.

1. L'équation du second degré

• Une équation du second degré (ou quadratique) s'écrit \(ax^2 + bx + c = 0\), avec \(a\), \(b\), \(c\) réels et \(a \neq 0\).
• Ses solutions s'appellent aussi les racines du trinôme \(ax^2 + bx + c\).
• Dans \(-5t^2 + 10t + 15 = 0\) : \(a = -5\), \(b = 10\), \(c = 15\).

2. D'où vient le discriminant ?

Sur un exemple

Dans le cas général

Avec la même idée, pour \(a \neq 0\), on obtient :

Tout dépend du nombre \(b^2 - 4ac\), qui « discrimine » les cas : on l'appelle le discriminant et on le note \(\Delta\) (la lettre grecque delta).

• S'il est positif, le crochet est une différence de deux carrés : on peut factoriser, il y a deux racines.
• S'il est nul, il reste un carré : une seule racine.
• S'il est négatif, le crochet est une somme d'un carré et d'un nombre positif : il ne s'annule jamais.

3. Résoudre avec le discriminant

flowchart TD
  A[Lire a b c] --> B[Calculer delta egal b2 moins 4ac]
  B --> C{Signe de delta}
  C -- positif --> D[Deux solutions]
  C -- nul --> E[Une solution double]
  C -- negatif --> F[Aucune solution reelle]

Exemple résolu 1 : \(\Delta \gt 0\)

Résoudre \(2x^2 - 3x - 2 = 0\).

Exemple résolu 2 : \(\Delta = 0\)

Résoudre \(x^2 - 6x + 9 = 0\). Cherche d'abord.

Exemple résolu 3 : \(\Delta \lt 0\)

Résoudre \(x^2 + x + 1 = 0\).

Exemple résolu 4 : le ballon de Kofi

Forme factorisée

Si \(\Delta \gt 0\), on peut écrire \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\) ; si \(\Delta = 0\), \(ax^2 + bx + c = a(x - x_0)^2\). Par exemple \(2x^2 - 3x - 2 = 2(x - 2)\left(x + \frac{1}{2}\right) = (x - 2)(2x + 1)\).

4. Discriminant ou factorisation : choisir la méthode

• \(c = 0\) : \(x^2 - 7x = 0 \iff x(x - 7) = 0\), donc \(x = 0\) ou \(x = 7\).
• \(b = 0\) et \(\frac{c}{a} \lt 0\) : \(4x^2 - 9 = 0 \iff (2x - 3)(2x + 3) = 0\), donc \(x = \pm \frac{3}{2}\).
• \(b = 0\) et \(\frac{c}{a} \gt 0\) : \(x^2 + 4 = 0\) n'a pas de solution, car un carré n'est jamais négatif.
• Sinon : discriminant.

Exemple résolu 5 : le champ de Bobo-Dioulasso

Un champ rectangulaire a un périmètre de 34 m et une aire de 60 m². Quelles sont ses dimensions ?

5. Le lien avec la parabole

La courbe de la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) est une parabole. Résoudre \(ax^2 + bx + c = 0\), c'est chercher les abscisses des points où cette parabole coupe l'axe des abscisses.

• Si \(a \gt 0\), la parabole est tournée vers le haut (en « U ») ; si \(a \lt 0\), vers le bas.
• Son sommet a pour abscisse \(-\dfrac{b}{2a}\), à mi-chemin entre les deux racines quand elles existent.

Manipule les curseurs : avec \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\), la parabole coupe l'axe en \(-1\) et \(3\) (\(\Delta = 16\)). Monte \(c\) jusqu'à \(1\) : la parabole touche l'axe en un seul point (\(\Delta = 0\)). Au-delà, elle ne le touche plus.

6. Erreurs fréquentes

Récapitulatif

• Une équation du second degré s'écrit \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a \neq 0\).
• On calcule \(\Delta = b^2 - 4ac\) ; il vient de la forme canonique.
• \(\Delta \gt 0\) : deux solutions \(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) ; \(\Delta = 0\) : une solution \(-\frac{b}{2a}\) ; \(\Delta \lt 0\) : aucune solution réelle.
• Si \(b = 0\) ou \(c = 0\), factoriser directement est plus rapide.
• Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.