Équations quadratiques et discriminant

Objectifs

Savoir reconnaître une équation quadratique et son rôle; comprendre le discriminant.
Déterminer le nombre de solutions et les trouver selon Δ.
Utiliser les méthodes de résolution: factorisation, formule et complétion du carré.

Notions clés

Équation quadratique

Définition: Une équation du type \(ax^2+bx+c=0\) avec \(a\neq 0\).

Exemples résolus

Exemple 1 : Résoudre l'équation \(x^2 - 5x + 6 = 0\).

Étape 1 : Calcul du discriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) avec \(a=1,b=-5,c=6\).

Étape 2 : \(\Delta = (-5)^2 - 4\cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\).

Étape 3 : Résolution par la formule \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) : \(x = \dfrac{5 \pm \sqrt{1}}{2} \Rightarrow x=2\) ou \(x=3\).

Voir la solution

Solution détaillée:

\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] \[\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1\] \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \] \[ x = 2 \quad ou \quad x = 3 \]

Quel est le discriminant de l'équation \(x^2 - 4x + 5 = 0\) ?

-4
4
0

Δ = \(b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4\).

Erreurs fréquentes

Oublier le fait que a ≠ 0 dans une équation quadratique.
Utiliser x = -b/(2a) comme solution sans vérifier Δ.
Ignorer les solutions réelles lorsque Δ > 0; écrire qu'il n'y a qu'une solution.

Pour réviser, résolvez : \(2x^2 - 3x - 2 = 0\).

Étape 1 : Δ = (-3)^2 - 4·2·(-2) = 9 + 16 = 25

Étape 2 : x = [3 ± √25] / (2·2) = [3 ± 5] / 4

Étape 3 : x = 2, x = -1

Récapitulatif

Notion 1: Équation quadratique — forme générale \(ax^2+bx+c=0\) avec a ≠ 0
Notion 2: Discriminant — Δ = \(b^2 - 4ac\)
Conditions de solution: Δ < 0 (aucune réelle), Δ = 0 (une solution double), Δ > 0 (deux solutions)
Formules utiles: résolution par formule \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a}\) et factorisation lorsque c = ac

Cartes mémo

Équation quadratique

Forme \(ax^2+bx+c=0\) avec a ≠ 0; c'est un polynôme de degré 2.

Discriminant

Δ = \(b^2 - 4ac\); détermine le nombre de solutions réelles.

Résolution

Si Δ ≥ 0, \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{Δ}}{2a}\) ; sinon, pas de solution réelle.