Équilibre des solides

Un solide reste immobile quand les forces qui agissent sur lui « s'annulent » : leur somme vectorielle est nulle, comme dans un tir à la corde où personne ne gagne.

Objectifs

Faire le bilan des forces qui s'exercent sur un solide et les représenter par des vecteurs.
Connaître les forces usuelles : poids, tension d'un fil, tension d'un ressort, réaction d'un support.
Énoncer et utiliser les conditions d'équilibre d'un solide soumis à deux forces, puis à trois forces.
Résoudre un problème d'équilibre par une méthode graphique ou par projection sur des axes.

1. Les forces usuelles

Notions clés

Une force modélise une action mécanique. Elle se représente par un vecteur caractérisé par son point d'application, sa direction (droite d'action), son sens et sa valeur (ou intensité) en newtons (N).

Le poids \(\vec{P}\) : action à distance de la Terre, appliquée au centre de gravité \(G\), verticale, vers le bas, de valeur \(P = m \times g\), avec \(m\) en kg et \(g \approx 9{,}8~\mathrm{N\,kg^{-1}}\) à la surface de la Terre (dans les exercices on prend souvent \(g = 10~\mathrm{N\,kg^{-1}}\)).
La tension d'un fil \(\vec{T}\) : appliquée au point d'attache, dirigée selon le fil, vers le point de suspension (un fil tire, il ne pousse jamais).
La tension d'un ressort : sa valeur est proportionnelle à l'allongement \(\Delta \ell\) : \(T = k \times \Delta \ell\), où \(k\) est la raideur du ressort en \(\mathrm{N\,m^{-1}}\).
La réaction d'un support \(\vec{R}\) : action de contact, répartie sur la surface de contact. Sans frottement, elle est perpendiculaire au support ; avec frottement, elle est inclinée vers l'arrière par rapport au mouvement possible.

Quel est le poids d'un sac de mil de masse \(m = 50~\mathrm{kg}\) (on prend \(g = 10~\mathrm{N\,kg^{-1}}\)) ?

\(50~\mathrm{N}\)
\(500~\mathrm{N}\)
\(5~\mathrm{N}\)

\(P = m \times g = 50 \times 10 = 500~\mathrm{N}\).

2. Solide soumis à deux forces

Notions clés

Un solide soumis à deux forces \(\vec{F_1}\) et \(\vec{F_2}\) est en équilibre si :

\[\vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0}\]

Les deux forces ont alors la même droite d'action, des sens opposés et la même valeur : \(F_1 = F_2\).

Exemple résolu 1 : la lampe suspendue

Une lampe de masse \(m = 500~\mathrm{g}\) est suspendue à un fil vertical. Calcule la tension du fil (\(g = 10~\mathrm{N\,kg^{-1}}\)).

Système : la lampe. Bilan des forces : son poids \(\vec{P}\) et la tension du fil \(\vec{T}\).

Conversion de la masse : \(m = 500~\mathrm{g} = 0{,}500~\mathrm{kg}\).

Calcul du poids : \[P = m \times g = 0{,}500 \times 10 = 5{,}0~\mathrm{N}\]

La lampe est en équilibre sous deux forces : \(\vec{P} + \vec{T} = \vec{0}\), donc \(T = P = 5{,}0~\mathrm{N}\), dirigée verticalement vers le haut.

Exemple résolu 2 : le ressort

Un ressort de raideur \(k = 50~\mathrm{N\,m^{-1}}\) porte une masse de \(200~\mathrm{g}\). De combien s'allonge-t-il à l'équilibre (\(g = 10~\mathrm{N\,kg^{-1}}\)) ? Cherche d'abord.

Voir la solution

À l'équilibre, la tension du ressort compense le poids : \(T = P\).

\begin{align} P &= m \times g = 0{,}200 \times 10 = 2{,}0~\mathrm{N}\\ k \times \Delta \ell &= P \quad\text{donc}\quad \Delta \ell = \frac{P}{k} = \frac{2{,}0}{50} = 0{,}040~\mathrm{m} \end{align}

Le ressort s'allonge de \(4{,}0~\mathrm{cm}\).

Un livre est posé sur une table horizontale, sans frottement. Que vaut la réaction \(\vec{R}\) de la table ?

Elle est nulle, car la table ne bouge pas
Elle est horizontale
Elle est verticale, vers le haut, de même valeur que le poids

Le livre est en équilibre sous deux forces : \(\vec{P} + \vec{R} = \vec{0}\). La réaction est donc verticale, vers le haut, et \(R = P\).

3. Solide soumis à trois forces

Notions clés

Un solide soumis à trois forces non parallèles \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\) et \(\vec{F_3}\) est en équilibre si :

la somme vectorielle des forces est nulle : \(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}\) ;
les trois forces sont coplanaires (dans un même plan) et leurs droites d'action sont concourantes (elles se coupent en un même point).

Deux méthodes de résolution :

Méthode graphique : on trace les vecteurs bout à bout ; à l'équilibre, ils forment un triangle fermé, appelé dynamique des forces.
Méthode analytique : on choisit deux axes perpendiculaires et on écrit que la somme des projections des forces est nulle sur chaque axe.

flowchart LR
A[Choisir le système] --> B[Bilan des forces]
B --> C[Schéma avec les vecteurs]
C --> D[Écrire la somme nulle]
D --> E[Projeter sur deux axes]
E --> F[Calculer les inconnues]

Exemple résolu 3 : le solide sur un plan incliné

Un bloc de masse \(m = 2{,}0~\mathrm{kg}\) est posé sur un plan incliné d'un angle \(\alpha = 30^\circ\) par rapport à l'horizontale. Il n'y a pas de frottement. Un fil parallèle à la pente le retient. Calcule la tension \(T\) du fil et la réaction \(R\) du plan (\(g = 10~\mathrm{N\,kg^{-1}}\)).

Le poids \(\vec{P}\) est vertical, vers le bas, appliqué en \(G\) : \(P = m \times g = 2{,}0 \times 10 = 20~\mathrm{N}\).

Sans frottement, la réaction \(\vec{R}\) du plan est perpendiculaire à la pente, vers le haut.

La tension \(\vec{T}\) du fil est parallèle à la pente, dirigée vers le haut de la pente (vers le point d'attache).

Le bloc est immobile : \(\vec{P} + \vec{R} + \vec{T} = \vec{0}\). Les trois forces sont concourantes en \(G\).

Calcul par projection, avec un axe \(Ox\) parallèle à la pente (vers le haut) et un axe \(Oy\) perpendiculaire à la pente (vers le haut) :

Coordonnées des forces : \(\vec{P}\,(-P\sin\alpha~;~-P\cos\alpha)\), \(\vec{R}\,(0~;~R)\), \(\vec{T}\,(T~;~0)\).

Projection sur \(Ox\) : \(-P\sin\alpha + 0 + T = 0\), donc \[T = P\sin\alpha = 20 \times \sin 30^\circ = 20 \times 0{,}50 = 10~\mathrm{N}\]

Projection sur \(Oy\) : \(-P\cos\alpha + R + 0 = 0\), donc \[R = P\cos\alpha = 20 \times \cos 30^\circ \approx 20 \times 0{,}866 \approx 17~\mathrm{N}\]

Vérification : \(T^2 + R^2 = 10^2 + 17{,}3^2 \approx 400 = P^2\). Le triangle des forces est bien fermé (triangle rectangle dont \(P\) est l'hypoténuse).

Fais varier la masse \(m\) (en kg) avec le curseur : la première courbe donne la tension \(T = m \times g \times \sin\alpha\) et la seconde la réaction \(R = m \times g \times \cos\alpha\), en newtons, en fonction de l'angle \(\alpha\) en degrés (avec \(g = 10~\mathrm{N\,kg^{-1}}\)).

Observe : quand \(\alpha\) augmente, \(T\) augmente et \(R\) diminue ; pour \(\alpha = 30^\circ\) et \(m = 2~\mathrm{kg}\), on retrouve \(T = 10~\mathrm{N}\).

Le même bloc de \(2{,}0~\mathrm{kg}\) est maintenant sur une pente d'angle \(\alpha = 60^\circ\), sans frottement. Que vaut la tension du fil parallèle à la pente (\(\sin 60^\circ \approx 0{,}87\)) ?

Environ \(17~\mathrm{N}\)
\(10~\mathrm{N}\)
\(20~\mathrm{N}\)

\(T = P\sin\alpha = 20 \times 0{,}87 \approx 17~\mathrm{N}\) : une pente plus raide demande un fil plus tendu.

Un solide est en équilibre sous l'action de trois forces non parallèles. Que peut-on affirmer sur leurs droites d'action ?

Elles sont parallèles
Elles sont coplanaires et concourantes
Elles sont toujours perpendiculaires deux à deux

C'est l'une des deux conditions d'équilibre sous trois forces non parallèles, avec la somme vectorielle nulle.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les grammes en kilogrammes avant de calculer \(P = m \times g\).
Additionner les valeurs des forces au lieu des vecteurs : \(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}\) ne veut pas dire \(F_1 + F_2 + F_3 = 0\).
Dessiner la réaction d'un support sans frottement verticale sur un plan incliné : elle est perpendiculaire au plan.
Inverser sinus et cosinus dans les projections : vérifie avec un cas simple (pour \(\alpha = 0^\circ\), le fil ne sert à rien, donc \(T = 0\)).
Oublier une force dans le bilan : demande-toi toujours « qui touche le solide ? » et ajoute le poids.

Récapitulatif

Une force se représente par un vecteur ; le poids vaut \(P = m \times g\), la tension d'un ressort \(T = k \times \Delta \ell\).
Deux forces : équilibre si \(\vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0}\) (même droite d'action, sens opposés, même valeur).
Trois forces non parallèles : somme vectorielle nulle, forces coplanaires et concourantes.
On résout graphiquement (triangle fermé) ou par projection sur deux axes bien choisis.

Poids

\(P = m \times g\), vertical, vers le bas, appliqué en \(G\) ; \(m\) en kg, \(P\) en N.

Tension d'un ressort

\(T = k \times \Delta \ell\), avec \(k\) en \(\mathrm{N\,m^{-1}}\) et \(\Delta \ell\) en m.

Équilibre sous deux forces

\(\vec{F_1} + \vec{F_2} = \vec{0}\) : même droite d'action, sens opposés, \(F_1 = F_2\).

Équilibre sous trois forces

\(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}\), forces coplanaires et concourantes.

Plan incliné sans frottement

\(T = P\sin\alpha\) et \(R = P\cos\alpha\).