Estimation de probabilités par fréquence

Quand on ne connaît pas une probabilité, on répète l'expérience un grand nombre de fois : la fréquence observée se stabilise et devient une bonne estimation de cette probabilité, avec une marge d'erreur d'environ \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\).

Objectifs

Calculer la fréquence d'un événement dans un échantillon.
Comprendre la fluctuation d'échantillonnage et la stabilisation des fréquences quand la taille de l'échantillon augmente.
Utiliser l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % : \(\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\,p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\).
Estimer une probabilité inconnue à partir d'une fréquence observée (intervalle de confiance).
Choisir une taille d'échantillon pour obtenir une précision voulue.

1. Fréquence et fluctuation d'échantillonnage

Notions clés

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît les issues possibles, mais pas le résultat à l'avance.
Un échantillon de taille \(n\) est la liste des résultats obtenus en répétant \(n\) fois la même expérience, dans les mêmes conditions et de façon indépendante.
Si un événement \(A\) se réalise \(k\) fois dans l'échantillon, sa fréquence est : \[ f = \frac{k}{n}, \qquad 0 \leqslant f \leqslant 1. \]
La fluctuation d'échantillonnage : deux échantillons de même taille donnent en général des fréquences différentes. C'est normal, c'est le hasard.

Exemple résolu 1 : calculer une fréquence

Kossi lance sa capsule \(200\) fois. Elle tombe face ouverte en haut \(126\) fois. Quelle est la fréquence de l'événement « face ouverte en haut » ?

Étape 1 : on repère la taille de l'échantillon \(n = 200\) et le nombre de réalisations \(k = 126\).

Étape 2 : on calcule \(f = \dfrac{k}{n} = \dfrac{126}{200}\).

Étape 3 : \(f = 0{,}63\), soit \(63\,\%\) des lancers.

Sur 50 clients d'une boutique de Bamako, 18 paient par mobile money. Quelle est la fréquence des paiements par mobile money ?

\(0{,}18\)
\(0{,}32\)
\(0{,}36\)

\(f = \dfrac{18}{50} = 0{,}36\). On divise toujours par la taille de l'échantillon (50), pas par 100.

2. La stabilisation des fréquences

Observe ci-dessous une simulation : on note la fréquence de « pile » après 10, 20, 50, 100, 200, 500 puis 1 000 lancers.

Avec peu de lancers (10, 20, 50), la fréquence saute d'une valeur à l'autre : 0,7 puis 0,6 puis 0,44.

Avec beaucoup de lancers (100 à 1 000), les variations deviennent de plus en plus petites.

La fréquence se stabilise autour de la probabilité p = 0,5 : c'est la loi des grands nombres.

Fatou obtient 7 « pile » sur 10 lancers. Que peut-on dire ?

La pièce est sûrement truquée.
On ne peut rien conclure : 10 lancers, c'est un trop petit échantillon.
La probabilité de « pile » vaut exactement \(0{,}7\).

Sur 10 lancers, la fluctuation d'échantillonnage est grande. Il faut un grand nombre de lancers pour que la fréquence se rapproche de la probabilité.

3. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %

Notions clés

On connaît la probabilité \(p\) d'un événement, et on prélève un échantillon de taille \(n\). Si \(n \geqslant 25\) et \(0{,}2 \leqslant p \leqslant 0{,}8\), alors, dans environ 95 % des échantillons, la fréquence \(f\) appartient à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % :

\[ I = \left[\, p - \frac{1}{\sqrt{n}} \;;\; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \,\right]. \]

Règle de décision : si \(f\) est dans \(I\), rien ne permet de douter de la valeur \(p\). Si \(f\) est en dehors de \(I\), on rejette l'hypothèse « la probabilité vaut \(p\) », avec un risque d'erreur d'environ 5 %.

Manipule les curseurs : la courbe du milieu est \(p\), les deux autres sont les bornes \(p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) et \(p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\), en fonction de la taille \(n\) de l'échantillon (en abscisse). Observe comment l'intervalle se resserre quand \(n\) grandit.

Exemple résolu 2 : le dé est-il truqué ?

Ibrahim lance le dé \(n = 400\) fois et obtient \(160\) fois « 5 ou 6 ». Avec \(p = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\), le dé semble-t-il truqué ?

Voir la solution

Conditions : \(n = 400 \geqslant 25\) et \(0{,}2 \leqslant 0{,}333 \leqslant 0{,}8\).

Fréquence observée : \(f = \dfrac{160}{400} = 0{,}4\).

Marge : \(\dfrac{1}{\sqrt{400}} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\).

Intervalle : \(I \approx [\,0{,}333 - 0{,}05 \,;\, 0{,}333 + 0{,}05\,] = [\,0{,}283 \,;\, 0{,}383\,]\).

\(0{,}4 \notin I\) : la fréquence de « 5 ou 6 » est trop élevée pour être due au seul hasard. On rejette l'hypothèse « dé équilibré », avec un risque d'erreur d'environ 5 %. Ibrahim avait sans doute raison.

Pour \(p = 0{,}5\) et \(n = 100\), quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 % ?

\([\,0{,}4 \,;\, 0{,}6\,]\)
\([\,0{,}49 \,;\, 0{,}51\,]\)
\([\,0{,}45 \,;\, 0{,}55\,]\)

\(\dfrac{1}{\sqrt{100}} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1\), donc \(I = [\,0{,}5 - 0{,}1 \,;\, 0{,}5 + 0{,}1\,] = [\,0{,}4 \,;\, 0{,}6\,]\).

4. Estimer une probabilité inconnue : l'intervalle de confiance

Cette fois, c'est l'inverse : on ne connaît pas \(p\), mais on a observé une fréquence \(f\) sur un échantillon de taille \(n\). Si \(n \geqslant 25\) et \(0{,}2 \leqslant f \leqslant 0{,}8\), la probabilité \(p\) appartient, avec un niveau de confiance de 95 %, à l'intervalle de confiance :

\[ J = \left[\, f - \frac{1}{\sqrt{n}} \;;\; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \,\right]. \]

flowchart LR
A[On ne connait pas p] --> B[On prend un echantillon de taille n]
B --> C[On calcule la frequence f]
C --> D[Marge 1 sur racine de n]
D --> E[Intervalle de confiance pour p]

Exemple résolu 3 : estimer le taux de germination

Sur les \(400\) graines semées par Adama, \(312\) ont germé. Donne une estimation de la probabilité \(p\) qu'une graine du sac germe.

Étape 1 : fréquence observée \(f = \dfrac{312}{400} = 0{,}78\). Les conditions \(n = 400 \geqslant 25\) et \(0{,}2 \leqslant 0{,}78 \leqslant 0{,}8\) sont vérifiées.

Étape 2 : marge \(\dfrac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05\).

Étape 3 : \(J = [\,0{,}78 - 0{,}05 \,;\, 0{,}78 + 0{,}05\,] = [\,0{,}73 \,;\, 0{,}83\,]\).

Conclusion : avec un niveau de confiance de 95 %, entre 73 % et 83 % des graines du sac germent.

Exemple résolu 4 : quelle taille d'échantillon ?

Une association de Ouagadougou veut estimer la proportion d'élèves qui viennent à l'école à vélo avec un intervalle de confiance d'amplitude au plus \(0{,}04\). Combien d'élèves faut-il interroger au minimum ?

Voir la solution

L'amplitude de \(J\) vaut \(\dfrac{2}{\sqrt{n}}\). On veut :

\[ \frac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0{,}04 \iff \sqrt{n} \geqslant \frac{2}{0{,}04} = 50 \iff n \geqslant 50^2 = 2500. \]

Il faut interroger au moins \(2\,500\) élèves.

Sur 100 personnes interrogées à Cotonou, 60 préfèrent le zémidjan au taxi. Quel est l'intervalle de confiance à 95 % de la proportion \(p\) dans la ville ?

\([\,0{,}55 \,;\, 0{,}65\,]\)
\([\,0{,}5 \,;\, 0{,}7\,]\)
\([\,0{,}4 \,;\, 0{,}6\,]\)

\(f = 0{,}6\) et \(\dfrac{1}{\sqrt{100}} = 0{,}1\), donc \(J = [\,0{,}6 - 0{,}1 \,;\, 0{,}6 + 0{,}1\,] = [\,0{,}5 \,;\, 0{,}7\,]\). L'intervalle est centré sur la fréquence observée.

Erreurs fréquentes

Conclure à partir d'un tout petit échantillon (10 lancers) : la fluctuation y est trop grande.
Croire que la fréquence finit par être exactement égale à \(p\) : elle s'en rapproche seulement.
Centrer l'intervalle de confiance sur \(p\) (inconnu !) au lieu de \(f\).
Oublier la racine carrée : la marge est \(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\), pas \(\dfrac{1}{n}\).
Penser que « hors de l'intervalle » prouve à 100 % la tricherie : il reste un risque d'erreur d'environ 5 %.

Récapitulatif

Fréquence : \(f = \dfrac{k}{n}\).
Quand \(n\) grandit, \(f\) se stabilise autour de \(p\) (loi des grands nombres).
\(p\) connu : intervalle de fluctuation \(\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) pour juger une fréquence.
\(p\) inconnu : intervalle de confiance \(\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,;\, f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\) pour estimer \(p\).
Pour diviser la marge par 2, il faut un échantillon 4 fois plus grand.

Fréquence

\(f = \dfrac{k}{n}\) : nombre de réalisations divisé par la taille de l'échantillon.

Fluctuation d'échantillonnage

Deux échantillons de même taille donnent des fréquences différentes, à cause du hasard.

Loi des grands nombres

Sur un très grand nombre d'expériences, la fréquence se rapproche de la probabilité.

Intervalle de fluctuation à 95 %

\(\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,;\, p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\), \(p\) connu : contient \(f\) dans environ 95 % des échantillons.

Intervalle de confiance à 95 %

\(\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}} \,;\, f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]\), \(p\) inconnu : sert à estimer \(p\).