Étude de fonctions : variations et tangentes

Le signe de la dérivée dit si la fonction monte ou descend, le nombre dérivé \(f'(a)\) donne la pente de la tangente en \(a\), et le signe de la dérivée seconde dit si la courbe est tournée vers le haut (convexe) ou vers le bas (concave).

Objectifs

Calculer des dérivées, y compris de fonctions composées \(e^{u}\), \(u^n\), \(\sqrt{u}\).
Déduire les variations d'une fonction du signe de sa dérivée et dresser son tableau de variations.
Déterminer les extremums locaux.
Déterminer l'équation d'une tangente et la position de la courbe par rapport à elle.
Utiliser la dérivée seconde : convexité et points d'inflexion.

1. Rappels de dérivation

Fonction	Dérivée
\(x^n\) \((n \in \mathbb{N}^*)\)	\(n x^{n-1}\)
\(\sqrt{x}\) \((x > 0)\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(e^{x}\)	\(e^{x}\)
\(u \times v\)	\(u'v + uv'\)
\(\dfrac{u}{v}\)	\(\dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
\(g(ax + b)\)	\(a\, g'(ax + b)\)
\(e^{u}\), \(u^n\), \(\sqrt{u}\) (\(u > 0\))	\(u' e^{u}\), \(n u' u^{n-1}\), \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)

La dérivée de \(f(x) = e^{2x + 1}\) est…

\(e^{2x + 1}\)
\(2e^{2x + 1}\)
\((2x + 1)e^{2x}\)

Avec \(u(x) = 2x + 1\), \(u'(x) = 2\) et \((e^{u})' = u' e^{u} = 2e^{2x+1}\).

2. Signe de la dérivée et variations

Exemple résolu 1 : \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\)

Étudie les variations de \(f\). Cherche d'abord, puis dévoile.

\(f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)\).

Signe : trinôme positif à l'extérieur des racines \(-1\) et \(1\). \(f'(x) > 0\) sur \(]-\infty;-1[\) et \(]1;+\infty[\), \(f'(x) < 0\) sur \(]-1;1[\).

Valeurs : \(f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3\) et \(f(1) = 1 - 3 + 1 = -1\).

\(f\) est croissante sur \(]-\infty;-1]\), décroissante sur \([-1;1]\), croissante sur \([1;+\infty[\) : maximum local \(3\) en \(-1\), minimum local \(-1\) en \(1\).

\(x\)	\(]-\infty;-1[\)	\(-1\)	\(]-1;1[\)	\(1\)	\(]1;+\infty[\)
\(f'(x)\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f\)	croissante \(\nearrow\)	\(3\) (max)	décroissante \(\searrow\)	\(-1\) (min)	croissante \(\nearrow\)

Application : nombre de solutions

Combien de solutions l'équation \(x^3 - 3x + 1 = 0\) a-t-elle ?

Voir la solution

Sur \(]-\infty;-1]\), \(f\) est continue, strictement croissante, va de \(-\infty\) à \(3\) : elle s'annule une fois (théorème des valeurs intermédiaires, cas strictement monotone). Sur \([-1;1]\), elle va de \(3\) à \(-1\) : une solution. Sur \([1;+\infty[\), de \(-1\) à \(+\infty\) : une solution. Total : 3 solutions.

Si \(f'(x) = (x - 2)e^{x}\), alors \(f\) est…

croissante sur \(\mathbb{R}\)
croissante sur \(]-\infty;2]\) puis décroissante
décroissante sur \(]-\infty;2]\) puis croissante

\(e^{x} > 0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(x - 2\) : négatif avant \(2\), positif après. Minimum en \(2\).

3. Tangente à une courbe

Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a\) a pour coefficient directeur \(f'(a)\) et pour équation :

\[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]

Déplace le curseur \(a\) : la droite rouge reste tangente à la courbe de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\). Observe qu'elle est horizontale en \(a = -1\) et \(a = 1\).

Exemple résolu 2 : tangentes à \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

En \(a = 0\) : \(f(0) = 1\), \(f'(0) = -3\), donc \(y = -3x + 1\).

En \(a = 2\) : \(f(2) = 8 - 6 + 1 = 3\), \(f'(2) = 3 \times 4 - 3 = 9\).

\(y = 9(x - 2) + 3 = 9x - 15\).

La tangente à la courbe de \(x \mapsto e^{x}\) au point d'abscisse \(0\) a pour équation…

\(y = x + 1\)
\(y = x\)
\(y = ex\)

\(f(0) = e^{0} = 1\) et \(f'(0) = e^{0} = 1\) : \(y = 1 \times (x - 0) + 1 = x + 1\).

4. Convexité et position par rapport aux tangentes

Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\) :

\(f\) est convexe sur \(I\) si \(f''(x) \geq 0\) (donc \(f'\) croissante) : la courbe est au-dessus de ses tangentes ;
\(f\) est concave sur \(I\) si \(f''(x) \leq 0\) : la courbe est en dessous de ses tangentes ;
un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : \(f''\) s'y annule en changeant de signe.

flowchart LR
A[Fonction f] --> B[Deriver f prime]
B --> C[Signe de f prime]
C --> D[Variations et extremums]
B --> E[Deriver f seconde]
E --> F[Signe de f seconde]
F --> G[Convexite et inflexion]

Exemple résolu 3 : convexité de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\)

Voir la solution

\(f''(x) = 6x\) : \(f\) est concave sur \(]-\infty;0]\) et convexe sur \([0;+\infty[\). \(f''\) s'annule en \(0\) en changeant de signe : le point \(I(0;1)\) est un point d'inflexion. La tangente \(y = -3x + 1\) y traverse la courbe (vérifie-le avec le curseur en \(a = 0\)).

Exemple résolu 4 : étude complète de \(g(x) = (x - 1)e^{x}\)

Variations, tangente au point d'abscisse \(1\), convexité. Cherche d'abord.

Produit : \(g'(x) = 1 \times e^{x} + (x - 1)e^{x} = x e^{x}\).

\(e^{x} > 0\) : \(g'\) a le signe de \(x\). \(g\) décroît sur \(]-\infty;0]\), croît sur \([0;+\infty[\), minimum \(g(0) = -1\).

Tangente en \(1\) : \(g(1) = 0\), \(g'(1) = e\), donc \(y = e(x - 1)\).

\(g''(x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1)e^{x}\) : concave sur \(]-\infty;-1]\), convexe sur \([-1;+\infty[\), inflexion au point d'abscisse \(-1\), \(g(-1) = -2e^{-1}\).

Sur \([-1;+\infty[\), \(g\) est convexe : la courbe est au-dessus de sa tangente en \(1\), donc \((x - 1)e^{x} \geq e(x - 1)\) pour tout \(x \geq -1\).

\(f''(x) = (x + 1)e^{x}\). Sur \([-1;+\infty[\), la courbe de \(f\) est…

en dessous de ses tangentes
au-dessus de ses tangentes
confondue avec ses tangentes

\(f''(x) \geq 0\) sur cet intervalle : \(f\) y est convexe, donc la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Erreurs fréquentes

Conclure à un extremum dès que \(f'(a) = 0\), sans vérifier le changement de signe.
Oublier \(u'\) dans la dérivée de \(e^{u}\) ou de \(u^n\).
Écrire la tangente \(y = f'(a)x + f(a)\) au lieu de \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
Confondre le signe de \(f'\) (variations de \(f\)) et le signe de \(f''\) (convexité).

Récapitulatif

\(f' \geq 0\) : \(f\) croissante ; \(f' \leq 0\) : \(f\) décroissante ; changement de signe de \(f'\) : extremum.
Tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).
\(f'' \geq 0\) : convexe, courbe au-dessus des tangentes ; \(f'' \leq 0\) : concave.
Point d'inflexion : \(f''\) s'annule en changeant de signe, la courbe traverse sa tangente.

Signe de \(f'\)

Positif : \(f\) croît ; négatif : \(f\) décroît.

Extremum local

\(f'\) s'annule en changeant de signe.

Équation de tangente

\(y = f'(a)(x - a) + f(a)\).

Fonction convexe

\(f'' \geq 0\) : courbe au-dessus de ses tangentes.

Point d'inflexion

\(f''\) change de signe, la courbe traverse sa tangente.